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二階導(dǎo)數(shù)（一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)）

次瀏覽 | 更新時間：2023-07-19

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二階導(dǎo)數(shù)是一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，它表示一階導(dǎo)數(shù)的變化率。從原理上，它反映了一階導(dǎo)數(shù)在某一點(diǎn)的斜率，也就是函數(shù)在該點(diǎn)變化的快慢程度。具體來說，如果二階導(dǎo)數(shù)大于0，則一階導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)附近上升，函數(shù)在該點(diǎn)附近較陡峭，圖像在該點(diǎn)附近呈凹形；如果二階導(dǎo)數(shù)小于0，則一階導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)附近下降，函數(shù)在該點(diǎn)附近較平緩，圖像在該點(diǎn)附近呈凸形。從另一個角度來看，二階導(dǎo)數(shù)也可以用來判斷函數(shù)的極值點(diǎn)。如果一個點(diǎn)是函數(shù)的極值點(diǎn)，那么在該點(diǎn)附近，一階導(dǎo)數(shù)等于0，而二階導(dǎo)數(shù)必須為0。因此，通過判斷二階導(dǎo)數(shù)是否為0，可以確定函數(shù)是否有極值點(diǎn)。總之，二階導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)圖像的重要工具，它可以幫助我們更好地理解函數(shù)的性質(zhì)和變化趨勢。

二階導(dǎo)數(shù)

一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)

二階導(dǎo)數(shù)是一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從原理上，它表示一階導(dǎo)數(shù)的變化率；從圖形上看，它反映的是函數(shù)圖像的凹凸性。

基本信息

中文名

二階導(dǎo)數(shù)

外文名

the second derivative test

定義

原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)

計算公式

y‘‘=d^2y/dx^2即y=（y）

應(yīng)用

判斷函數(shù)凹凸等

幾何意義1

切線斜率變化的速度

幾何意義2

函數(shù)的凹凸性

應(yīng)用科學(xué)

數(shù)學(xué)

含義

一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)

代數(shù)記法

二階導(dǎo)數(shù)記作即

。

例如：

的導(dǎo)數(shù)為

，二階導(dǎo)數(shù)即

的導(dǎo)數(shù)為

。

幾何意義

（1）切線斜率變化的速度，表示的是一階導(dǎo)數(shù)的變化率。

（2）函數(shù)的凹凸性（例如加速度的方向總是指向軌跡曲線凹的一側(cè)）。

這里以物理學(xué)中的瞬時加速度為例:

根據(jù)定義有

可如果加速度并不是恒定的，某點(diǎn)的加速度表達(dá)式就為：

(即速度對時間的一階導(dǎo)數(shù))

又因為

所以就有：

即元位移對時間的二階導(dǎo)數(shù)

將這種思想應(yīng)用到函數(shù)中即是數(shù)學(xué)所謂的二階導(dǎo)數(shù)

(

的一階導(dǎo)數(shù)）

(

的二階導(dǎo)數(shù))

定義

以導(dǎo)數(shù)定義法定義：如果函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)

在x處可導(dǎo)，則稱

的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)

在點(diǎn)x處的二階導(dǎo)數(shù)，記為

。

以極限定義法定義：函數(shù)

在

處的二階導(dǎo)數(shù)

是導(dǎo)函數(shù)

在

處的導(dǎo)數(shù)，即

物理意義

以物理運(yùn)動為例，我們知道，變速直線運(yùn)動的速度u(t)是位置函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)，即

這種導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)

或

稱為

對

的二階導(dǎo)數(shù)，記作

所以，直線運(yùn)動的加速度就是位置函數(shù)是s(t)對時間t的二階導(dǎo)數(shù)。

性質(zhì)

（1）如果一個函數(shù)

在某個區(qū)間

上有

（即二階導(dǎo)數(shù)）>0恒成立，那么對于區(qū)間

上的任意

總有：

，如果總有

成立，那么上式的不等號反向。

幾何的直觀解釋：如果一個函數(shù)f(x)在某個區(qū)間I上有

（即二階導(dǎo)數(shù)）>0恒成立，那么在區(qū)間

上

的圖象上的任意兩點(diǎn)連出的一條線段，這兩點(diǎn)之間的函數(shù)圖象都在該線段的下方，反之在該線段的上方。

（2）判斷函數(shù)極大值以及極小值。

結(jié)合一階、二階導(dǎo)數(shù)可以求函數(shù)的極值。當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)等于0，而二階導(dǎo)數(shù)大于0時，為極小值點(diǎn)。當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)等于0，而二階導(dǎo)數(shù)小于0時，為極大值點(diǎn)；當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)都等于0時，為駐點(diǎn)。

（3）函數(shù)凹凸性。

設(shè)

在

上連續(xù)，在

內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么，

（1）若在

內(nèi)

,則

在

上的圖形是凹的；

（2）若在

內(nèi)

,則

在

上的圖形是凸的。

例題

解：用導(dǎo)數(shù)定義求解：

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