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最大公約數(shù)指兩個或多個整數(shù)共有約數(shù)中最大的一個。 您可以使用輾轉相除法來計算兩個數(shù)的最大公約數(shù)，也可以使用輾轉相減法來計算最大公約數(shù)。 輾轉相除法計算最大公約數(shù)的步驟如下： 1. 用較大數(shù)除以較小數(shù)，再用出現(xiàn)的余數(shù)去除較小的數(shù)，如此反復。 2. 直到余數(shù)為零為止，此時較小數(shù)即為兩數(shù)的最大公約數(shù)。 例如，計算12和18的最大公約數(shù)，可以按照如下步驟進行： 12 ÷ 18 = 0......12 18 ÷ 12 = 1......6 12 ÷ 6 = 2......0 因此，6就是12和18的最大公約數(shù)。 以上就是關于最大公約數(shù)的解讀，希望對您有所幫助。最大公約數(shù)
最大公因數(shù)
兩個或多個整數(shù)共有約數(shù)中最大的一個
最大公因數(shù)，也稱最大公約數(shù)、最大公因子，指兩個或多個整數(shù)共有約數(shù)中最大的一個。a，b的最大公約數(shù)記為（a，b），同樣的，a，b，c的最大公約數(shù)記為（a，b，c），多個整數(shù)的最大公約數(shù)也有同樣的記號。求最大公約數(shù)有多種方法，常見的有質因數(shù)分解法、短除法、輾轉相除法、更相減損法。與最大公約數(shù)相對應的概念是最小公倍數(shù)，a，b的最小公倍數(shù)記為[a，b]。
基本信息
| 中文名 | 最大公約數(shù) |
| 外文名 | Greatest Common Divisor(GCD) |
| 別名 | Highest Common Factor(HCF) |
| 應用學科 | 數(shù)學 |
| 相對應概念 | 最小公倍數(shù) |
| 基本概念 | 多個整數(shù)共有約數(shù)中最大的一個 |
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基本概念
如果數(shù)a能被數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。約數(shù)和倍數(shù)都表示一個整數(shù)與另一個整數(shù)的關系，不能單獨存在。如只能說16是某數(shù)的倍數(shù)，2是某數(shù)的約數(shù)，而不能孤立地說16是倍數(shù)，2是約數(shù)。
"倍"與"倍數(shù)"是不同的兩個概念，"倍"是指兩個數(shù)相除的商，它可以是整數(shù)、小數(shù)或者分數(shù)。"倍數(shù)"只是在數(shù)的整除的范圍內，相對于"約數(shù)"而言的一個數(shù)字的概念，表示的是能被某一個自然數(shù)整除的數(shù)。
幾個整數(shù)中公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。例如：12、16的公約數(shù)有1、2、4，其中最大的一個是4，4是12與16的最大公約數(shù)，一般記為（12，16）=4。12、15、18的最大公約數(shù)是3，記為（12，15，18）=3。
求法
質因數(shù)分解法
例如：求24和60的最大公約數(shù)，先分解質因數(shù)，得24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24與60的全部公有的質因數(shù)是2、2、3，它們的積是2×2×3=12，所以，（24，60）=12。
把幾個數(shù)先分別分解質因數(shù)，再把各數(shù)中的全部公有的質因數(shù)和獨有的質因數(shù)提取出來連乘，所得的積就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。
例如：求6和15的最小公倍數(shù)。先分解質因數(shù)，得6=2×3，15=3×5，6和15的全部公有的質因數(shù)是3，6獨有質因數(shù)是2，15獨有的質因數(shù)是5，2×3×5=30，30里面包含6的全部質因數(shù)2和3，還包含了15的全部質因數(shù)3和5，且30是6和15的公倍數(shù)中最小的一個，所以[6，15]=30。
短除法
短除法：短除法求最大公約數(shù)，先用這幾個數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除，一直除到所有的商互質為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來，所得的積就是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。
短除法求最小公倍數(shù)，先用這幾個數(shù)的公約數(shù)去除每個數(shù)，再用部分數(shù)的公約數(shù)去除，并把不能整除的數(shù)移下來，一直除到所有的商中每兩個數(shù)都是互質的為止，然后把所有的除數(shù)和商連乘起來，所得的積就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)，例如，求12、15、18的最小公倍數(shù)。
短除法的本質就是質因數(shù)分解法，只是將質因數(shù)分解用短除符號來進行。
短除符號就是除號倒過來。短除就是在除法中寫除數(shù)的地方寫兩個數(shù)共有的質因數(shù)，然后落下兩個數(shù)被公有質因數(shù)整除的商，之后再除，以此類推，直到結果互質為止（兩個數(shù)互質）。
而在用短除計算多個數(shù)時，對其中任意兩個數(shù)存在的因數(shù)都要算出，其它沒有這個因數(shù)的數(shù)則原樣落下。直到剩下每兩個都是互質關系。
求最大公因數(shù)便乘一邊，求最小公倍數(shù)便乘一圈。
無論是短除法，還是分解質因數(shù)法，在質因數(shù)較大時，都會覺得困難。這時就需要用新的方法。
輾轉相除法
輾轉相除法：輾轉相除法是求兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)的一種方法，也叫歐幾里德算法。
例如，求（319，377）：
∵ 319÷377=0（余319）
∴（319，377）=（377，319）；
∵ 377÷319=1（余58）
∴（377，319）=（319，58）；
∵ 319÷58=5（余29）
∴ （319，58）=（58，29）；
∵ 58÷29=2（余0）
∴ （58，29）= 29；
∴ （319，377）=29。
可以寫成右邊的格式。
用輾轉相除法求幾個數(shù)的最大公約數(shù)，可以先求出其中任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再求這個最大公約數(shù)與第三個數(shù)的最大公約數(shù)，依次求下去，直到最后一個數(shù)為止。最后所得的那個最大公約數(shù)，就是所有這些數(shù)的最大公約數(shù)。
更相減損法
《九章算術》是中國古代的數(shù)學專著，其中的“更相減損術”可以用來求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也。以等數(shù)約之。”
翻譯成現(xiàn)代語言如下：
第一步：任意給定兩個正整數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，則用2約簡；若不是則執(zhí)行第二步。
第二步：以較大的數(shù)減較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的減數(shù)和差相等為止。
則第一步中約掉的若干個2與第二步中等數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù)。
其中所說的“等數(shù)”，就是最大公約數(shù)。求“等數(shù)”的辦法是“更相減損”法。所以更相減損法也叫等值算法。
例1．用更相減損術求98與63的最大公約數(shù)。
98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7
所以，98和63的最大公約數(shù)等于7。
這個過程可以簡單的寫為：
（98，63）=（35，63）=（35，28）=（7，28）=（7，21）=（7，14）=（7，7）=7.
例2．用更相減損術求260和104的最大公約數(shù)。
解：由于260和104均為偶數(shù)，首先用2約簡得到130和52，再用2約簡得到65和26。
此時65是奇數(shù)而26不是奇數(shù)，故把65和26輾轉相減：
65-26=39
39-26=13
26-13=13
所以，260與104的最大公約數(shù)等于13乘以第一步中約掉的兩個2，即13*2*2=52。
這個過程可以簡單地寫為：
（260,104）(/2/2) =>（65,26）=（39,26）=（13,26）=（13,13）=13. (*2*2) => 52
比較輾轉相除法與更相減損術的區(qū)別
（1）都是求最大公因數(shù)的方法，計算上輾轉相除法以除法為主，更相減損術以減法為主，計算次數(shù)上輾轉相除法計算次數(shù)相對較少，特別當兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計算次數(shù)的區(qū)別較明顯。
常用結論
在解有關最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)的問題時，常用到以下結論：
（1）如果兩個自然數(shù)是互質數(shù)，那么它們的最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的乘積。
例如8和9，它們是互質數(shù)，所以（8，9）=1，[8，9]=72。
（2）如果兩個自然數(shù)中，較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)，較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。
例如18與3，18÷3=6，所以（18，3）=3，[18，3]=18。
（3）兩個整數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商是互質數(shù)。
例如8和14分別除以它們的最大公約數(shù)2，所得的商分別為4和7，那么4和7是互質數(shù)。
（4）兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與它們的最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。
例如12和16，（12，16）=4，[12，16]=48，有4×48=12×16，即（12，16）× [12，16]=12×16。
（5）GCD(a,b) is the smallest positive linear combination of a and b. a與b的最大公約數(shù)是最小的a與b的正線性組合，即對于方程xa+yb=c來說，若x,a,y,b都為整數(shù)，那么c的最小正根為gcd(a,b).
歷史發(fā)展
在求解最大公約數(shù)的幾種方法中，輾轉相除法最為出名。輾轉相除法是仍然在使用的歷史最悠久的算法之一。它首次出現(xiàn)于幾何原本（卷7命題1–2、卷10命題2–3）（大約公元前300年）。在卷7中用于整數(shù)，在卷10中用于線段的長度（也就是所說的實數(shù)，但是當時未有實數(shù)的概念）。卷10中出現(xiàn)的算法是幾何的，兩段線段a和b的最大公約數(shù)是準確測量a和b的最大長度。
這個算法可能并非歐幾里得發(fā)明，而僅僅是將先人的結果編進他的幾何原本。數(shù)學家、歷史學家范德瓦爾登認為卷7的內容可能來自畢達哥拉斯學院出身的數(shù)學家寫的關于數(shù)論的教科書。輾轉相除法是被大約公元前375年的歐多克斯發(fā)現(xiàn)的，但也有可能更早之前就已經存在，因為歐幾里得和亞里士多德的這兩位歷史名人著作中都出現(xiàn)了?νθυφα?ρεσι?一詞（anthyphairesis, 意為“輾轉相減”），
幾個世紀之后，輾轉相除法又分別被中國人和印度人獨立發(fā)現(xiàn)，主要用來解天文學中用到的丟番圖方程以及指定準確的歷法。5世紀末，印度數(shù)學家、天文學家阿里亞哈塔可能是因為輾轉相除法在解丟番圖方程時的高效率而稱它為“粉碎機”。因為在中國，孫子算經中出現(xiàn)了此算法的一個特例中國剩余定理，但是輾轉相除法的完整表述直到1247年秦九韶的數(shù)學九章中才出現(xiàn)。在歐洲，輾轉相除法首次出現(xiàn)于克勞德·巴希特（英語：Claude Gaspard Bachet de Méziriac）的著作Problèmes plaisants et délectables的第二版在歐洲，輾轉相除法廣泛使用于丟番圖方程和連分數(shù)。后來，英國數(shù)學家桑德森（英語：Nicholas Saunderson）將擴展歐幾里得算法作為羅杰科茨（英語：Roger Cotes）對計算連分數(shù)的方法的研究發(fā)表。
19世紀，輾轉相除法孕育出了一些新的數(shù)系，如高斯整數(shù)和艾森斯坦整數(shù)。1815年，高斯用輾轉相除法證明高斯整數(shù)的分解是惟一的，他的研究發(fā)表于1832年。高斯在他的《算數(shù)研究》（published 1801）中，作為處理連分數(shù)的方法提到了這個算法。約翰·狄利克雷是第一個將輾轉相除法作為數(shù)論的基礎的數(shù)學家。狄利克雷提出，數(shù)論中的很多結論，如分解的惟一性，在任何使輾轉相除法成立的數(shù)系中有效。狄利克雷的觀點被理查德·戴德金修改和推廣，他用輾轉相除法研究代數(shù)整數(shù)。戴德金是第一個用高斯整數(shù)的分解惟一性證明費馬平方和定理的數(shù)學家。戴德金還率先定義了歐幾里得整環(huán)的概念。19世紀末，輾轉相除法的輝煌逐漸被戴德金的理想取代。
輾轉相除法的其他應用發(fā)展于19世紀。1829年，施圖姆將輾轉相除法用于施圖姆序列（用于確定多項式的不同實根的個數(shù)的方法）。
輾轉相除法是歷史上第一個整數(shù)關系算法（英語：integer relation algorithm），即尋找兩數(shù)的整數(shù)關系的算法。近年來，出現(xiàn)了一些新穎的整數(shù)關系算法，如埃拉曼·弗格森（英語：Helaman Ferguson）和福爾卡德于1979年發(fā)表的弗格森-福爾卡德算法、以及與它相關的LLL算法（英語：Lenstra–Lenstra–Lovász lattice basis reduction algorithm）、HJLS算法以及PSLQ算法（英語：PSLQ algorithm）。
1969年，科爾(Cole)和戴維(Davie)基于輾轉相除法創(chuàng)造了一種二人游戲，叫做歐幾里得游戲。這個游戲有最優(yōu)策略。游戲開始于兩列分別為a和b個棋子組成的序列，玩家輪流從較長一列中取走較短一列棋子數(shù)量的m倍的棋子。如果兩列棋子a和b分別由x和y個棋子組成，其中x大于y，那么玩家可以序列a的棋子數(shù)量減少為自然數(shù)x ? my。最后率先將一列棋子清空的玩家勝出。
擴展歐幾里得算法
擴展歐幾里德算法：擴展歐幾里得算法（又稱擴充歐幾里得算法）是用來解某一類特定的不定方程的一種方法，常用用來求解模線性方程及方程組。擴展的歐幾里得算法可以用來計算模逆元，而模逆元在公鑰密碼學中占有舉足輕重的地位。
證明：設 a>b。
1，顯然當 b=0，gcd（a，b）=a。此時 x=1，y=0；
2，ab≠0 時
設 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根據(jù)樸素的歐幾里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
則：ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即：ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根據(jù)恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
這樣我們就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
上面的思想是以遞歸定義的，因為 gcd 不斷的遞歸求解一定會有個時候 b=0，所以遞歸可以結束。
歐幾里德算法是計算兩個數(shù)最大公約數(shù)的傳統(tǒng)算法，無論從理論還是從實際效率上都是很好的。但是卻有一個致命的缺陷，這個缺陷在素數(shù)比較小的時候一般是感覺不到的，只有在大素數(shù)時才會顯現(xiàn)出來。
Stein算法由J. Stein 1961年提出，這個方法也是計算兩個數(shù)的最大公約數(shù)。和歐幾里德算法算法不同的是，Stein算法只有整數(shù)的移位和加減法，這對于程序設計者是一個福音。
Stein算法：
設置A1=A、B1=B和C1=1
1、如果An=0，Bn*Cn是最大公約數(shù)，算法結束
2、如果Bn=0，An*Cn是最大公約數(shù)，算法結束
3、如果An和Bn都是偶數(shù)，則An+1=An/2，Bn+1=Bn/2，Cn+1=Cn*2(注意，乘2只要把整數(shù)左移一位即可，除2只要把整數(shù)右移一位即可)
4、如果An是偶數(shù)，Bn不是偶數(shù)，則An+1=An/2，Bn+1=Bn，Cn+1=Cn (很顯然啦，2不是奇數(shù)的約數(shù))
5、如果Bn是偶數(shù)，An不是偶數(shù)，則Bn+1=Bn/2，An+1=An，Cn+1=Cn (很顯然啦，2不是奇數(shù)的約數(shù))
6、如果An和Bn都不是偶數(shù)，則An+1=|An-Bn|，Bn+1=min(An,Bn)，Cn+1=Cn
7、n加1，轉步驟1
考慮歐幾里德算法，最惡劣的情況是，每次迭代a=2b-1,這樣，迭代后，r=b-1。如果a小于2N，這樣大約需要4N次迭代。而考慮Stein算法，每次迭代后，顯然A(n+1)B(n+1)≤AnBn/2，最大迭代次數(shù)也不超過4N次。也就是說，迭代次數(shù)幾乎是相等的。但是，需要注意的是，對于大素數(shù)，試商法將使每次迭代都更復雜，因此對于大素數(shù)Stein將更有優(yōu)勢。
性質
gcd(-a,b)=gcd(a,b)
gcd(a,a)=|a|
gcd(a,0)=|a|
gcd(a,1)=1
gcd(a,b)=gcd(b, a mod b)
gcd(a,b)=gcd(b, a-b)
如果有附加的一個自然數(shù)m,
gcd(a+mb ,b)=gcd(a,b)
如果m是a和b的最大公約數(shù)，
則： gcd(a/m ,b/m)=gcd(a,b)/m
在乘法函數(shù)中有：
gcd(ab,m)=gcd(a,m) * gcd(b,m)
兩個整數(shù)的最大公約數(shù)主要有兩種尋找方法：
* 兩數(shù)各分解質因數(shù)，然后取出同樣有的質因數(shù)乘起來
*輾轉相除法（擴展版）
和最小公倍數(shù)（lcm）的關系：
gcd(a, b) * lcm(a, b) = ab
a與b有最大公約數(shù)，
兩個整數(shù)的最大公因子和最小公倍數(shù)中存在分配律：
* gcd(a, lcm(b, c)) = lcm(gcd(a, b), gcd(a, c))
* lcm(a, gcd(b, c)) = gcd(lcm(a, b), lcm(a, c))
在坐標里，將點(0, 0)和(a, b)連起來，通過整數(shù)坐標的點的數(shù)目（除了(0, 0)一點之外）就是gcd(a, b)。
程序實現(xiàn)
Java實現(xiàn)
importjava.util.Scanner;
publicclassSix{
publicstaticvoidmain(String[]args){
System.out.print("請輸入a和b");
Scannerscan=newScanner(System.in);//以空格作為分隔符
inta=scan.nextInt();
intb=scan.nextInt();
intmiddle1,middle2,middle3;
middle1=a;
middle2=b;
middle3=0;
for(inti=0;i
middle3=middle1%middle2;
if(middle3==0)
break;
else{
middle1=middle2;
middle2=middle3;
}
}
System.out.println("最大公約數(shù)為："+middle2);
}
}
PASCAL
programzuidagongyueshu;varm,n,a,b,r:integer;begin//主程序write('Inputm,n=');readln(m,n);a:=m;b:=n;repeatr:=amodb;a:=b;b:=r;untilrb=0;writeln('Thegreatestcommondivideis:',a);end.
programgcd;vark,a,b:integer;functiongcd(a,b:integer):integer;beginifamodb=0thenexit(b)elsegcd:=gcd(b,amodb);end;beginreadln(a,b);k:=gcd(a,b);writeln(k);end.
#includeintmain(){intm,n,i;scanf("%d",&m);scanf("%d",&n);for(i=m;i>=1;i--)if(m%i==0&&n%i==0)break;printf("%d
",i);return0;}
遞歸算法
1.C語言程序如下：#include#include/**最大公約數(shù)的遞歸：*1、若a可以整除b，則最大公約數(shù)是b*2、如果1不成立，最大公約數(shù)便是b與a%b的最大公約數(shù)*示例：求(140,21)*140%21=14*21%14=7*14%7=0*返回7**/intgcd(inta,intb){if(a%b==0)returnb;returngcd(b,a%b);}intmain(void){inta=10,b=8;scanf("%d%d",&a,&b);printf("GCD:A=>%d,B=>%d(A,B)=%d
",a,b,gcd(a,b));return0;}
C++:intgcd(inta,intb){inttemp;while(b){/*利用輾除法，直到b為0為止*/temp=b;b=a%b;a=temp;}returna;}分數(shù)的最大公約數(shù)為：例（5/6，5/9）=（5,5）/【6,9】=5/18遞歸算法(c++實現(xiàn))
2.C++程序如下：#include<cstdio>intGCD(inta,intb){returna%b?gcd(b,a%b):b;}intmain(){intx,y;scanf("%d%d",&x,&y);printf("%d",GCD(x,y));return0;}3.輾轉相除法(Matlab實現(xiàn))functionGCD=Euclid(m,n)%輾轉相除法(即歐幾里德算法)。r=mod(m,n);whiler~=0r=mod(m,n);m=n;n=r;endGCD=m;>>m=319;n=377;Euclid(m,n)ans=29
4.遞歸算法（Python實現(xiàn)）defgcd(n1,n2):"""greatestcommondivisorfunction"""if(n1%n2==0):returnn2returngcd(n2,n1%n2)
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明道大學（MINGDAO UNIVERSITY），前身是汪廣平2001年創(chuàng)立的明道管理學院，位于中國臺灣彰化縣埤頭鄉(xiāng)文化路369號。于2007年更名為明道大學，首屆海青班入學。2020年明道大學通過美國國際獨立院校認證委員會（ACICS）認證。至2023年6月23日校長為郭秋勛。
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