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連分?jǐn)?shù)（數(shù)學(xué)中的概念）

次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-05-22

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連分?jǐn)?shù)

數(shù)學(xué)中的概念

連分?jǐn)?shù)叫做有限連分?jǐn)?shù)。

基本信息

外文名	continued fraction
學(xué)科	數(shù)學(xué)
分類2	無(wú)限連分?jǐn)?shù)
分類1	有限連分?jǐn)?shù)

正文

繁分?jǐn)?shù)

叫做有限連分?jǐn)?shù)。常簡(jiǎn)記為

。當(dāng)

是整數(shù)、

是正整數(shù)時(shí)，則叫做有限簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)，當(dāng)n無(wú)限時(shí),

稱為無(wú)限簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)。通常連分?jǐn)?shù)均指簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)。給定一有理數(shù)

，用熟知的輾轉(zhuǎn)相除法，可展成有限連分?jǐn)?shù)即

，其中

是輾轉(zhuǎn)相除法中依次得到的不完全商，規(guī)定

，則表法惟一。如果α是一個(gè)無(wú)理數(shù)，那么α可展成無(wú)限連分?jǐn)?shù)，且表法惟一。反之，一有限連分?jǐn)?shù)表一有理數(shù)，一無(wú)限連分?jǐn)?shù)表一無(wú)理數(shù)。

漸近分?jǐn)?shù)和完全商　在連分?jǐn)?shù)

中取

而寫

,叫做連分?jǐn)?shù)

的第n個(gè)漸近分?jǐn)?shù)。定義

為連分?jǐn)?shù)

的第n個(gè)完全商。

漸近分?jǐn)?shù)有如下簡(jiǎn)單關(guān)系：

①

②

③

④

由此可得

存在；⑤設(shè)

，且

，則

,故在分母不大于

的諸分?jǐn)?shù)中,

與α最接近；⑥設(shè)

,則

；反之，若有一個(gè)有理數(shù)適合

，則

必為α的某個(gè)漸近分?jǐn)?shù)。

完全商有如下簡(jiǎn)單性質(zhì)：①

,一般地,；②

由此可推出實(shí)數(shù)展成連分?jǐn)?shù)時(shí)表法惟一。該實(shí)數(shù)為有理數(shù)時(shí)，規(guī)定最后一個(gè)

。

循環(huán)連分?jǐn)?shù)　

設(shè)

,如果

時(shí)，對(duì)某個(gè)固定的正整數(shù)k,有

,那么這樣的連分?jǐn)?shù)叫做循環(huán)連分?jǐn)?shù)，這種最小的 k叫做它的周期，記為

。例如

等。運(yùn)用漸近分?jǐn)?shù)、完全商的性質(zhì)以及抽屜原理,J.-L.拉格朗日證明了有關(guān)循環(huán)連分?jǐn)?shù)的一個(gè)重要定理：一個(gè)連分?jǐn)?shù)為循環(huán)連分?jǐn)?shù)，則此數(shù)是某個(gè)有理系數(shù)的二次不可約多項(xiàng)式的根；反之亦然。

當(dāng)

且不是平方數(shù)，則

，其中函數(shù)

表示不超過x的最大整數(shù)。此外，設(shè)佩爾方程

的最小解為ε，則

的周期k滿足

。

應(yīng)用舉例　連分?jǐn)?shù)有許多應(yīng)用。例如:①1891年,A.胡爾維茨證明了：在α 的三個(gè)連續(xù)漸近分?jǐn)?shù)中必有一個(gè)適合

。由此可得，任一無(wú)理數(shù)α

。式中是最佳的，即設(shè)

，則必有一無(wú)理數(shù)α

不能有無(wú)窮多個(gè)解，如

就是這樣一個(gè)數(shù)；②設(shè)

且不是平方數(shù),

之連分?jǐn)?shù)展開式中αń可表為

，此處

及

皆為整數(shù)。設(shè)n是最小的正整數(shù)，使

,則

是佩爾方程

的最小解;③利用連分?jǐn)?shù)可以證明數(shù)論中一個(gè)著名的定理：設(shè)素?cái)?shù)p呏1(mod4),則p可表為二整數(shù)的平方和；④在近似計(jì)算方面，如求多項(xiàng)式的根的近似值，等等。

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