基本資料

這些業(yè)績使他在天文學(xué)上享有盛譽．有人說他還計算過太陰視差，確定過月亮的近地點和平均移動，并且曾編過850個恒星的目錄．把圓分成360°的劃分法介紹到希臘的也是希帕克[也許是希普西克(Hipsicles，大約公元前180年)]．據(jù)說，他曾提倡過用緯度的和經(jīng)度來定地球上地點的位置．我們對于這些成果的知識來自第二手材料，因為幾乎沒有希帕克的任何原著被保存下來．

數(shù)學(xué)成就

然而，對我們來說，希帕克有比在天文學(xué)上更重要的成就，那就是他在三角學(xué)的發(fā)展中所起的作用．四世紀(jì)的評論家亞歷山大里亞的泰奧恩曾把十二本討論弦表(table ofchords)設(shè)計的論著歸功于希帕克．托勒玫

弦長以每一等分為單位，以六十進(jìn)位制表達(dá)．這樣，以符號crd α表示圓心角α所對的弦長，例如

crd36°=37°4′55″．

意思是：36°圓心角的弦等于半徑的37/60(或37個小部分)，加上一個小部分的4/60，再加上一個小部分的55/3600，從圖48看出，弦表等價于正弦函數(shù)表，因為

這樣，托勒玫的弦表實質(zhì)上給出了從0°到90°每隔15’的角的正弦．這些被托勒玫天才地解釋的計算弦長的方式，似乎希帕克就已知道．有證據(jù)表明：希帕克系統(tǒng)地使用過他的表，并且知道與現(xiàn)代解球面直角三角形所用的一些公式等價的公式．

著作資料

泰奧恩曾提到過：普魯塔克的同輩、亞歷山大里亞的梅內(nèi)勞斯寫的關(guān)于圓中的弦的六本論著．這部著作和梅內(nèi)勞斯的許多其它著作者失傳了．但幸運地，梅內(nèi)勞斯的三卷《球面幾何》(Sphaerica)以阿拉伯文保存下來了，這部著作在希臘三角學(xué)的發(fā)展中起重要作用．在第一卷中，第一次給出了球面三角形(spherical triangle)的定義．這卷書，對球面三角形證明了許多歐幾里得在平面三角形中證明過的命題，例如，通常的全等定理、關(guān)于等腰三角形的定理等等．除此之外，還證明了：兩個球面三角形，如果其對應(yīng)角分別相等，則全等(在平面上不存在類似的命題)：以及這樣一個事實：球面三角形的三內(nèi)角之和大于二直角．

命題證明

對稱的球面三角形被當(dāng)作是全等的．第二卷中包括天文學(xué)中一些有趣的定理．第三卷展示當(dāng)時的球面三角學(xué)，多半是從大學(xué)幾何課中學(xué)生所熟知的強(qiáng)有力的命題——梅內(nèi)勞斯定理(Menelaus’theorem)之球面的情況導(dǎo)出的；該定理為：

如果一直線分別交△ABC的三邊BC，CA，AB于L，M，N，則在球面中的一個類似的命題是：一個大圓分別交一個球面三角形ABC的三邊BC、 CA、 AB于點L，M，N，則相應(yīng)的結(jié)論等價于

梅內(nèi)勞斯假定平面情況是已知的，并用來證明球面的情況．大量的球面三角學(xué)命題可以用取特殊的三角形和特殊的橫截線的方法從此定理導(dǎo)出．此定理在平面情況和球面情況的逆定理都成立．

天文成就

希臘的天文學(xué)的權(quán)威性著作是亞歷山大里亞的的托勒玫(Claudius Ptolemy)在大約公元150年寫的．這部很有影響的著作稱為《數(shù)學(xué)匯編》(Syntaxis mathematica)是以希帕克的著作為基礎(chǔ)的，且以其文筆簡潔和雋永而著稱．為了和其它篇幅較小的天文學(xué)著作區(qū)別開，后來的評論家把它稱之為《大匯編》[the superlative magiste或“greatest”(最大的)]．再靠后些，阿拉伯譯者以阿拉伯文冠詞al添在詞頭，因此這部著作被稱為Al-magest．這部論著共十三卷．第一卷除了一些初級的天文學(xué)資料之外，還包括了上面講的弦表，并且扼要解釋從一個含義豐富的幾何命題，來推導(dǎo)弦表的方法，這個命題現(xiàn)在稱為托勒玫定理(Ptolemy’s theorem)：

在圓內(nèi)接四邊形中，兩對角線之積等于兩對對邊之積的和(參看問題研究6．9)．

研究成果

第二卷是研究與地球的球面性有關(guān)的現(xiàn)像．第三、四、五卷，用本輪解釋天文學(xué)的地心學(xué)說．第四卷中有測量學(xué)的三點問題(three—point problem)：確定這樣的點，使這一點與給定的三個點中每兩點的連線所成之角分別為給定的角；并且，有解．這個問題已經(jīng)有很長的歷史，被稱作斯內(nèi)爾(Snell)問題(1617年)或波西諾特(Pothenot)問題(1692)．第六卷講述日、月食的理論，其中有4．8節(jié)中提到過的π的四位值．第七卷和第八卷是1028個恒星的目錄．其余幾卷是研究行星的．《大匯編》一書，在哥白尼和刻卜勒之前一直是標(biāo)準(zhǔn)的天文學(xué)著作．

托勒玫寫過關(guān)于地圖射影(參看問題6．10)、光學(xué)和音樂的著作．他還試圖從《原本》的其它公理和公設(shè)推出歐幾里得的第五(平行)公設(shè)，使之把它從歐幾里得的一系列原始假定中去掉，然而沒有成功。