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拉格朗日方程（拉格朗日力學的主要方程）

次瀏覽 | 更新時間：2023-07-18

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拉格朗日方程是拉格朗日力學中的主要方程，用于描述物體的運動，特別是理論物理的研究。它與牛頓第二定律在牛頓力學中有著相似的功能，對于理解物理系統(tǒng)的運動和動力學性質(zhì)具有重要意義。

拉格朗日方程

拉格朗日力學的主要方程

拉格朗日方程，因約瑟夫·路易斯·拉格朗日而命名，是拉格朗日力學的主要方程，可以用來描述物體的運動，特別適用于理論物理的研究。拉格朗日方程的功能相等于牛頓力學中的牛頓第二定律。

基本信息

中文名

拉格朗日方程

外文名

lagrange’s equations

別名

歐拉-拉格朗日方程

優(yōu)勢

廣義坐標個數(shù)通常比x坐標少等

簡介

拉格朗日方程：對于完整系統(tǒng)用廣義坐標表示的動力方程，通常系指第二類拉格朗日方程，是法國數(shù)學家J.-L.拉格朗日首先導出的。

通?？蓪懗桑?/span>

式中

為系統(tǒng)用各廣義坐標

和各廣義速度

所表示的動能；

為對應(yīng)于

的廣義力;

為這完整系統(tǒng)的自由度；

為系統(tǒng)的點數(shù)；

為完整約束方程個數(shù)。

從虛位移原理可以得到受理想約束的質(zhì)點系不含約束力的平衡方程，而動靜法(達朗貝爾原理)則將列寫平衡方程的靜力學方法應(yīng)用于建立質(zhì)點系的動力學方程，將這兩者結(jié)合起來，便可得到不含約束力的質(zhì)點系動力學方程，這就是動力學普遍方程。而拉格朗日方程則是動力學普遍方程在廣義坐標下的具體表現(xiàn)形式。

通常，我們將牛頓定律及建立在此基礎(chǔ)上的力學理論稱為牛頓力學(也稱矢量力學)，將拉格朗日方程及建立在此基礎(chǔ)上的理論稱為拉格朗日力學。拉格朗日力學通過位形空間描述力學系統(tǒng)的運動，它適合于研究受約束質(zhì)點系的運動。拉格朗日力學在解決微幅振動問題和剛體動力學的一些問題的過程中起了重要的作用。拉格朗日方程可以用來建立不含約束力的動力學方程，也可以用來在給定系統(tǒng)運動規(guī)律的情況下求解作用在系統(tǒng)上的主動力。如果要想求約束力，可以將拉格朗日方程與動靜法或動量定理(或質(zhì)心運動定理)聯(lián)用。

應(yīng)用

用拉格朗日方程解題的優(yōu)點是：①廣義坐標個數(shù)通常比

坐標少，即

，故拉氏方程個數(shù)比直角坐標的牛頓方程個數(shù)少，即運動微分方程組的階數(shù)較低，問題易于求解；②廣義坐標可根據(jù)約束條件作適當?shù)?a class="dict" href="/azgame/od2747207.html">選擇，使力學問題的運算簡化，并且不必考慮約束力；③

和

都是標量，比力的矢量關(guān)系式更易表達，因此較易列出動力方程。下面是兩個例子：

①圖1是一個半徑為

、質(zhì)量為

的圓盤，它的中心用鉸鏈與質(zhì)量為

的直桿相連。此桿的另一端用鉸鏈固接在半徑為

的空心圓筒的中心

；桿長

。圓盤繞

點擺動。桿的動能為

圓盤轉(zhuǎn)動角關(guān)系為

，圓盤繞

點轉(zhuǎn)動動能為

系統(tǒng)以

點為標準的勢能

和系統(tǒng)的動能

為：

代入拉格朗日方程

形式

拉格朗日方程的一般形式是：式中

為用各廣義坐標

和廣義速度

導表示的系統(tǒng)的動能；

為對應(yīng)

的廣義力。方程式的個數(shù)等于系統(tǒng)的自由度N。保守系統(tǒng)中存在勢函數(shù)

，則廣義力距

，又因

中不含

，即

，故完整保守系統(tǒng)的拉格朗日方程為：

在非保守體系中，廣義力不能用

表示，此時應(yīng)引入廣義勢能

的概念，

.帶入一般形式可以得到非保守體系的拉格朗日方程。

式中

為拉格朗日函數(shù)，它等于系統(tǒng)的動勢

與位勢

之差。上式與變分問題中的歐拉方程形式相同，由此可導出哈密頓原理。

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