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拉格朗日量是經(jīng)典力學(xué)中的一個(gè)重要概念，它是一種函數(shù)，用于描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和演化過程。拉格朗日量在分析力學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，可以用來研究物體的運(yùn)動(dòng)軌跡、動(dòng)量、能量、角動(dòng)量等物理量之間的關(guān)系。 拉格朗日量的建立是由拉格朗日在1788年完成的，它是一種對(duì)經(jīng)典力學(xué)的新數(shù)學(xué)表述。通過引入拉格朗日量，可以將系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)描述從一個(gè)幾何空間轉(zhuǎn)移到數(shù)學(xué)空間，從而更加方便地進(jìn)行數(shù)學(xué)分析和計(jì)算。 拉格朗日量的建立是基于一些基本的假設(shè)和推導(dǎo)，它能夠描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡和物理量之間的關(guān)系，可以用來解決一系列實(shí)際問題。例如，在力學(xué)、天文學(xué)、機(jī)械工程等領(lǐng)域中，拉格朗日量都有著廣泛的應(yīng)用。 總之，拉格朗日量是經(jīng)典力學(xué)中的一種重要函數(shù)，它為研究物體的運(yùn)動(dòng)、物理量之間的關(guān)系提供了有力的工具，并在多個(gè)領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。拉格朗日量
1788年拉格朗日建立的函數(shù)
拉格朗日量的建立人
基本信息
中文名
拉格朗日量
別名
拉格朗日函數(shù)
外文名
Lagrangian
提出者
約瑟夫·拉格朗日
概念
是動(dòng)能T 與勢(shì)能V 的差值
方法
拉格朗日方法
用途
求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程
來源
1788年，約瑟夫·拉格朗日建立拉格朗日力學(xué)，是對(duì)經(jīng)典力學(xué)的一種的新的理論表述，著重于數(shù)學(xué)解析的方法，是分析力學(xué)的重要組成部分。它有一個(gè)基本假設(shè)是具有 n 個(gè)自由度的系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全由 n 個(gè)廣義坐標(biāo)及廣義速度決定。力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由一個(gè)廣義坐標(biāo)和廣義速度的函數(shù)描述：此函數(shù)即拉格朗日量（函數(shù)）。
生平介紹
約瑟夫·拉格朗日
約瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange 1735~1813）
法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1736年1月25日生于意大利都靈，1813年4月10日卒于巴黎。他在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中都有歷史性的貢獻(xiàn)，其中尤以數(shù)學(xué)方面的成就最為突出。
拉格朗日生平
拉格朗日1736年1月25日生于意大利西北部的都靈。父親是法國(guó)陸軍騎兵里的一名軍官，后由于經(jīng)商破產(chǎn)，家道中落。據(jù)拉格朗日本人回憶，如果幼年是家境富裕，他也就不會(huì)作數(shù)學(xué)研究了，因?yàn)楦赣H一心想把他培養(yǎng)成為一名律師。拉格朗日個(gè)人卻對(duì)法律毫無興趣。
到了青年時(shí)代，在數(shù)學(xué)家雷維里的教導(dǎo)下，拉格朗日喜愛上了幾何學(xué)。17歲時(shí)，他讀了英國(guó)天文學(xué)家哈雷的介紹牛頓微積分成就的短文《論分析方法的優(yōu)點(diǎn)》后，感覺到“分析才是自己最熱愛的學(xué)科”，從此他迷上了數(shù)學(xué)分析，開始專攻當(dāng)時(shí)迅速發(fā)展的數(shù)學(xué)分析。
18歲時(shí)，拉格朗日用意大利語寫了第一篇論文，是用牛頓二項(xiàng)式定理處理兩函數(shù)乘積的高階微商，他又將論文用拉丁語寫出寄給了當(dāng)時(shí)在柏林科學(xué)院任職的數(shù)學(xué)家歐拉。不久后，他獲知這一成果早在半個(gè)世紀(jì)前就被萊布尼茲取得了。這個(gè)并不幸運(yùn)的開端并未使拉格朗日灰心，相反，更堅(jiān)定了他投身數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域的信心。
中年時(shí)的約瑟夫·拉格朗日1755年拉格朗日19歲時(shí)，在探討數(shù)學(xué)難題“等周問題”的過程中，他以歐拉的思路和結(jié)果為依據(jù)，用純分析的方法求變分極值。第一篇論文“極大和極小的方法研究”，發(fā)展了歐拉所開創(chuàng)的變分法，為變分法奠定了理論基礎(chǔ)，變分法的創(chuàng)立，使拉格朗日在都靈聲名大震，并使他在19歲時(shí)就當(dāng)上了都靈皇家炮兵學(xué)校的教授，成為當(dāng)時(shí)歐洲公認(rèn)的第一流數(shù)學(xué)家。1756年，受歐拉的舉薦，拉格朗日被任命為普魯士科學(xué)院通訊院士。
1764年，法國(guó)科學(xué)院懸賞征文，要求用萬有引力解釋月球天平動(dòng)問題，他的研究獲獎(jiǎng)。接著又成功地運(yùn)用微分方程理論和近似解法研究了科學(xué)院提出的一個(gè)復(fù)雜的六體問題(木星的四個(gè)衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)問題)，為此又一次于1766年獲獎(jiǎng)。
1766年德國(guó)的腓特烈大帝向拉格朗日發(fā)出邀請(qǐng)時(shí)說，在“歐洲最大的王”的宮廷中應(yīng)有“歐洲最大的數(shù)學(xué)家”。于是他應(yīng)邀前往柏林，任普魯士科學(xué)院數(shù)學(xué)部主任，居住達(dá)20年之久，開始了他一生科學(xué)研究的鼎盛時(shí)期。在此期間，他完成了《分析力學(xué)》一書，這是牛頓之后的一部重要的經(jīng)典力學(xué)著作。書中運(yùn)用變分原理和分析的方法，建立起完整和諧的力學(xué)體系，使力學(xué)分析化了。他在序言中宣稱：力學(xué)已經(jīng)成為分析的一個(gè)分支。
1783年，拉格朗日的故鄉(xiāng)建立了"都靈科學(xué)院"，他被任命為名譽(yù)院長(zhǎng)。1786年腓特烈大帝去世以后，他接受了法王路易十六的邀請(qǐng)，離開柏林，定居巴黎，直至去世。
這期間他參加了巴黎科學(xué)院成立的研究法國(guó)度量衡統(tǒng)一問題的委員會(huì)，并出任法國(guó)米制委員會(huì)主任。1799年，法國(guó)完成統(tǒng)一度量衡工作，制定了被世界公認(rèn)的長(zhǎng)度、面積、體積、質(zhì)量的單位，拉格朗日為此做出了巨大的努力。
1791年，拉格朗日被選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員，又先后在巴黎高等師范學(xué)院和巴黎綜合工科學(xué)校任數(shù)學(xué)教授。1795年建立了法國(guó)最高學(xué)術(shù)機(jī)構(gòu)——法蘭西研究院后，拉格朗日被選為科學(xué)院數(shù)理委員會(huì)主席。此后，他才重新進(jìn)行研究工作，編寫了一批重要著作：《論任意階數(shù)值方程的解法》、《解析函數(shù)論》和《函數(shù)計(jì)算講義》，總結(jié)了那一時(shí)期的特別是他自己的一系列研究工作。
L1
例如：一個(gè)圍繞太陽旋轉(zhuǎn)的物體，它距太陽的距離越近，它的軌道周期就越短。但是這忽略了地球的萬有引力對(duì)其產(chǎn)生的拉力的影響。如果這個(gè)物體在地球與太陽之間，地球引力的影響會(huì)減弱太陽對(duì)這物體的拉力，因此增加了這個(gè)物體的軌道周期。物體距地球越近，這種影響就越大。在L1點(diǎn)，物體的軌道周期恰好等于地球的軌道周期。太陽及日光層探測(cè)儀（SOHO）（NASA關(guān)于SOHO工程的網(wǎng)站 ）即圍繞日-地系統(tǒng)的L1點(diǎn)運(yùn)行。
L2
在兩個(gè)大天體的連線上，且在較小的天體一側(cè)。
例如：相似的影響發(fā)生在地球的另一側(cè)。一個(gè)物體距太陽的距離越遠(yuǎn)，它的軌道周期通常就越長(zhǎng)。地球引力對(duì)其的拉力減小了物體的軌道周期。在L2點(diǎn)，軌道周期變得與地球的相等。
威爾金森微波各向異性探測(cè)器已經(jīng)圍繞日-地系統(tǒng)的L2點(diǎn)運(yùn)行。詹姆斯·韋伯太空望遠(yuǎn)鏡將要被放置在日-地系統(tǒng)的L2點(diǎn)上。
L3
在兩個(gè)大天體的連線上，且在較大的天體一側(cè)。
例如：第三個(gè)拉格朗日點(diǎn)，L3，位于太陽的另一側(cè)，比地球距太陽略微遠(yuǎn)一些。地球與太陽的合拉力再次使物體的運(yùn)行軌道周期與地球相等。
L4
L5
在以兩天體連線為底的等邊三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)上，且在較小天體圍繞較大天體運(yùn)行軌道的后方。
L4和L5有時(shí)稱為“三角拉格朗日點(diǎn)”或“特洛伊點(diǎn)”。
定義
拉格朗日量（又稱拉格朗日函數(shù)）是動(dòng)能T 與勢(shì)能V 的差值。通常，動(dòng)能的參數(shù)為廣義速度（符號(hào)上方的點(diǎn)號(hào)表示對(duì)于時(shí)間t的全導(dǎo)數(shù)），而勢(shì)能的參數(shù)為廣義坐標(biāo)，所以，拉格朗日量的參數(shù)。
方程
假設(shè)一個(gè)物理系統(tǒng)的拉格朗日量為，則此物理系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，以拉格朗日方程表示為
粒子物理應(yīng)用
拉格朗日量方法的優(yōu)點(diǎn)在于，它是一個(gè)微擾理論，這個(gè)理論不僅包括了樹圖能級(jí)貢獻(xiàn)，而且也包含了圈貢獻(xiàn)。目前，這樣的計(jì)算只能對(duì)結(jié)果的數(shù)量級(jí)進(jìn)行估計(jì)，因?yàn)闆]有充足的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)去確定拉格朗日量抵消項(xiàng)的任意系數(shù)。然而，它們提供了一個(gè)圈圖貢獻(xiàn)大小的線索。我們將介紹與此相關(guān)的兩個(gè)例子：第一個(gè)是超精細(xì)質(zhì)量劈裂下圈效應(yīng)的大小。第二個(gè)例子是通過手征的圈效應(yīng)給出比率，其中fDs和Df 分別為介子和 介子的輕子衰變常數(shù)。計(jì)算手征圈效應(yīng)的其它例子還包括對(duì)強(qiáng)耦合常數(shù)的修正，對(duì)半輕子的形狀因子的修正和以及對(duì)B介子和 D介子輻射衰變與稀有衰變的修正。
有效拉格朗日方法最主要的缺陷是在拉格朗日量中有大量的耦合常數(shù)。即使在輕介子微商和1Qm展開的最低階，不得不使用數(shù)據(jù)確定幾個(gè)耦合。一個(gè)典型的例子是已經(jīng)提及到的D*Dπ耦合常數(shù)，目前確定它的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)仍不充足。在缺少實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的情況下，人們也可以依靠理論研究提供的結(jié)果，比如來自 求和規(guī)則或勢(shì)模型關(guān)于它的或者 晶格模擬。另一個(gè)可選擇的辦法是不僅通過強(qiáng)相互作用，而且通過介子之間的弱相互作用和電磁相互作用獲取相關(guān)信息。事實(shí)上，手征拉格朗日量在這些過程中的應(yīng)用不僅為決定體系的耦合常數(shù)提供了可能，而且提供了由對(duì)稱聯(lián)系的不同過程之間的定量關(guān)系。要做到這一點(diǎn)，通常使用兩種方法：第一種方法是用手征對(duì)稱性和重夸克味對(duì)稱性聯(lián)系不同弱躍遷和電磁躍遷的振幅之間的關(guān)系。第二種方法是利用手征拉格朗日量來計(jì)算不同的振幅。無論使用哪種方法，都需要對(duì)形狀因子的q2行為做出一些假設(shè)。
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