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等周問題
1901年赫爾維茨提出的概念
基本信息
| 中文名 | 等周問題 |
| 外文名 | isoperimetric problem |
| 提出者 | 赫爾維茨 |
| 應(yīng)用學(xué)科 | 數(shù)學(xué) |
| 提出時(shí)間 | 1901 |
| 使用領(lǐng)域范圍 | 物理，數(shù)學(xué) |
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簡介
等周定理說明在周界長度相等的封閉幾何形狀之中，以圓形的面積最大；另一個(gè)說法是面積相等的幾何形狀之中，以圓形的周界長度最小。它可以以不等式表達(dá)：
P若為封閉曲線的周界長，A為曲線所包圍的區(qū)域面積，
雖然等周定理的結(jié)論早已為人所知，但要嚴(yán)格的證明這一點(diǎn)并不容易。首個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明直到19世紀(jì)才出現(xiàn)。之后，數(shù)學(xué)家們陸續(xù)給出了不同的證明，其中有不少是非常簡單的。等周問題有許多不同的推廣，例如在各種曲面而不是平面上的等周問題，以及在高維的空間中給定的“表面”或區(qū)域的最大“邊界長度”問題等。
在物理中，等周問題和跟所謂的最小作用量原理有關(guān)。一個(gè)直觀的表現(xiàn)就是水珠的形狀。在沒有外力的情況下（例如失重的太空艙里），水珠的形狀是完全對稱的球體。這是因?yàn)楫?dāng)水珠體積一定時(shí)，表面張力會迫使水珠的表面積達(dá)到最小值。根據(jù)等周定理，最小值是在水珠形狀為球狀時(shí)達(dá)到。
詳解
等周問題
等周問題
平面上的等周問題是等周問題最經(jīng)典的形式，它的出現(xiàn)可以追溯到很早以前。這個(gè)問題可以被表述為：在平面上所有周長一定的封閉曲線中，是否有一個(gè)圍成的面積最大？如果有的話，是什么形狀？另一種等價(jià)的表述是：當(dāng)平面上的封閉曲線圍成的面積一定時(shí)，怎樣的曲線周長最??？
雖然圓看似是問題的表面答案，但證明此事實(shí)其實(shí)不易。首個(gè)接近答案的步驟出現(xiàn)在1838年——雅各·史坦納以幾何方法證明若答案存在，答案必然是圓形。不久之后他的證明被其他數(shù)學(xué)家完善。
其方法包括證明了不完全凸的封閉曲線的話，能以“翻折”凹的部分以成為凸的圖形，以增加面積；不完全對稱的封閉曲線能以傾斜來取得更多的面積。圓，是完全凸和對稱的形狀?？墒沁@些并不足以作為等周定理的嚴(yán)格證明。
2012年，潘憶思利用不等式給出了一個(gè)十分簡單初等證明。論文名稱《不等式與等周問題》。
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