又稱對應(yīng)于模q的特征Ⅹ(n)的狄利克雷L函數(shù), 即函數(shù),其中,Ⅹ(n)是模q的一個特征,復(fù)變數(shù)。它在時就是黎曼ζ函數(shù)。這類函數(shù)最初是由P.G.L.狄利克雷在研究算術(shù)級數(shù)中的素?cái)?shù)分布問題時引進(jìn)的。它的性質(zhì)和作用,都與黎曼ζ函數(shù)類似,在許多數(shù)論問題中有重要應(yīng)用。它的主要性質(zhì)有: ① 當(dāng)時,,式中表示對全體素?cái)?shù)求積。因而。 ② 當(dāng)是模q的主特征時,于是,通過就把解析開拓到全平面。 ③ 當(dāng)Ⅹ是模q的非主特征時,一定存在惟一的一個模q*,使當(dāng)時,有 ④ 當(dāng)Ⅹ是模q的原特征時,可解析開拓為整函數(shù),且滿足函數(shù)方程 式中τ(Ⅹ)為僅與Ⅹ有關(guān)的常數(shù),且滿足的共軛特征,即 ⑥設(shè)Ⅹ是模q的原特征,那么是L(s,Ⅹ)的一級零點(diǎn),稱為“無聊零點(diǎn)”;可能有的其他零點(diǎn)(稱為“非無聊零點(diǎn)”)一定都位于帶形區(qū)域中;L(s,Ⅹ)確有無窮多個非無聊零點(diǎn)。 ⑦ 設(shè),以表在區(qū)域,中的零點(diǎn)個數(shù)。因此,當(dāng)Ⅹ 是模q的原特征和時,有 ⑧ 設(shè),,以表 在區(qū)域,中的零點(diǎn)個數(shù)。再設(shè),其中Σ表對模q的所有特征求和。因此,當(dāng)時,有。此結(jié)果已被改進(jìn)和推廣,通常稱之為L函數(shù)的零點(diǎn)密度定理。 ⑩ 存在絕對正常數(shù)X1,使得對任意固定的模q,在所有的函數(shù)中,僅可能除去一個例外函數(shù)外,均在區(qū)域內(nèi)無零點(diǎn)。如果這樣的例外函數(shù) 存在,那么塣一定是模q的實(shí)的非主特征,且 在上述區(qū)域內(nèi)只有一個一級實(shí)零點(diǎn)戓。這一性質(zhì)是狄利克雷L函數(shù)與黎曼ζ函數(shù)的一個主要差別。研究對應(yīng)于實(shí)特征的L函數(shù)的實(shí)零點(diǎn),是L函數(shù)論的最重要問題之一。 A. 佩奇于1935年證明了:存在絕對正常數(shù),使得對任意的實(shí)原特征Ⅹ modq,,必有。由此可推出,存在絕對正常數(shù),使得對任意的實(shí)特征 Ⅹ modq,,當(dāng)時,。 C.L.西格爾于1936年證明了:對任給的正數(shù)ε,存在正常數(shù),使得對任意的實(shí)原特征Ⅹmodq,,必有。由此推出,對任給正數(shù)ε,必有正常數(shù) ,使得對任意的實(shí)特征 Ⅹ modq,,當(dāng)時, 。 C. L. 西格爾的結(jié)果雖然優(yōu)于A. 佩奇的結(jié)果,但是常數(shù)和至今沒有辦法計(jì)算出來。 從性質(zhì)⑩、?、?可推得有余項(xiàng)估計(jì)的算術(shù)級數(shù)中的素?cái)?shù)定理(見素?cái)?shù)分布)。類似于黎曼假設(shè),有所謂廣義黎曼假設(shè),即猜測所有的狄利克雷L函數(shù)的非無聊零點(diǎn)都位于直線上,通常簡記作GRH。大量的數(shù)值計(jì)算以及理論上的探討都支持這一假設(shè),但它至今還沒有被證明或否定。從GRH可推出一系列重要的數(shù)論結(jié)果,雖然都是一些假設(shè)性的結(jié)果(其中有的已被無條件地證明了),但是卻指出了研究L函數(shù)零點(diǎn)的重要意義和方向。 參考書目
H.Davenport,Multiplicative Number Theory,2nd ed.,Springer-Verlag, Berlin, 1980.