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解析延拓
拓展原給函數(shù)定義的方法
假定函數(shù)f1(z)與f2(z)分別在區(qū)域D1與D2中解析，D1與D2有一公共部分，在其上f1(z)=f2z)成立。于是將f1(z)與f2(z)在D1及D2內(nèi)的全體點(diǎn)上的數(shù)值集合看成一個(gè)解析函數(shù)f(z)，則f(z)在D=D1+D2中解析，在D1中f(z)=f1(z)，而在D2中f(z)=f2(z)。
函數(shù)f2(z)可以看成由拓展f1(z)的定義區(qū)域所得，故稱它為f1(z)的解析延拓。當(dāng)然，根據(jù)同樣的理由，f1(z)是f2(z)的解析延拓，這種拓展原給函數(shù)定義的方法稱為解析延拓。
基本信息
| 中文名 | 解析延拓 |
| 外文名 | Analytic continuation |
| 應(yīng)用學(xué)科 | 數(shù)學(xué) |
| 適用領(lǐng)域 | 函數(shù)論 |
| 相關(guān)概念 | 解析函數(shù)、解析等 |
介紹
按照解析函數(shù)的要求把定義在較小區(qū)域上的函數(shù)延拓到更大的區(qū)域上。
基于數(shù)學(xué)原理
同一性定理(Identity Theorem):任何兩個(gè)定義在復(fù)平面同一個(gè)區(qū)域上的解析函數(shù)，如果他們?cè)谶@個(gè)區(qū)域上的無窮多個(gè)點(diǎn)上都相等，而且這些點(diǎn)中存在極限點(diǎn),則這兩個(gè)函數(shù)必然在整個(gè)區(qū)域上相等。
而這里無限個(gè)點(diǎn)中必須包含極限點(diǎn)才可以，比如sin(x)和2sin(x)在點(diǎn)集{
,k是整數(shù)}取值都相等，但是由于這個(gè)無限點(diǎn)集沒有極限點(diǎn)，所以可以存在兩個(gè)不同的解析函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)集上取值都相等。而如果這無限個(gè)點(diǎn)有解，那么由于有解無限點(diǎn)集必然包含極限點(diǎn)，那么也必然可以唯一確定一個(gè)解析函數(shù)。
根據(jù)這一定理，一個(gè)定義在較小區(qū)域上的解析函數(shù)，對(duì)于更大的區(qū)域，最多只存在一個(gè)解析函數(shù)在這個(gè)較小的區(qū)域上和它相等。這個(gè)定義在更大區(qū)域上的解析函數(shù)就叫做它的解析延拓。
現(xiàn)實(shí)中的問題
對(duì)于一個(gè)具有解析表達(dá)式的解析函數(shù)，它的解析延拓的定義是明確的。在數(shù)值計(jì)算中，常常不能得到一個(gè)函數(shù)的解析表達(dá)式，而只能得到某些點(diǎn)上的值。這時(shí)，要利用這些已知的值去求未知函數(shù)的解析延拓在別的點(diǎn)的值就比較困難。在這方面的研究目前還沒有出現(xiàn)很好的方法或結(jié)果。解析延拓的具體實(shí)施，非常困難。需要新觀念的進(jìn)入。
定義
假定函數(shù)與分別在區(qū)域與中解析，與有一公共部分，在其上成立，于是將與在及內(nèi)的全體點(diǎn)上的數(shù)值集合看成一個(gè)解析函數(shù)，則在中解析，在中，而在中。
函數(shù)可以看成由拓展的定義區(qū)域所得，故稱它為的解析延拓。當(dāng)然，根據(jù)同樣理由，是的解析延拓，這種拓展原給函數(shù)定義的方法稱為解析延拓。
欲使這個(gè)方法有意義，必須在適當(dāng)條件下由它只能得出唯一的結(jié)果，以后我們將要證明它確實(shí)如此，在給出它的證明以前，先提一下，如果對(duì)單元實(shí)函數(shù)定義類似的方法，將會(huì)遇到怎樣的困難。
設(shè)在中，人們自然會(huì)建議用此公式將的定義拓展到其他上。但困難在于兩個(gè)不同的公式可能在某一區(qū)間中表同一函數(shù)，而在另一區(qū)間中卻表不同的函數(shù)，并且也沒有明顯的理由來決定究竟哪個(gè)公式才為“正當(dāng)”。例如在中，上面的函數(shù)也可以可以級(jí)數(shù)表示；但若以此級(jí)數(shù)的和定義函數(shù)，我們看到，它在區(qū)間中的值等于。
延拓的標(biāo)準(zhǔn)方法
延拓的標(biāo)準(zhǔn)方法就是冪級(jí)數(shù)方法，假定我們從級(jí)數(shù)出發(fā)，它在圓中收斂。在圓中任取一個(gè)不同于a的點(diǎn)b，算出與各階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值，就得到函數(shù)關(guān)于乘冪的展開式。這個(gè)級(jí)數(shù)在任何以b為圓心并且完全落在原來圓內(nèi)的圓中都一定收斂，它也可能在一個(gè)更大的圓中收斂，從而提供了函數(shù)的一個(gè)解析延拓，因此整個(gè)函數(shù)就可通過冪級(jí)數(shù)而構(gòu)成。每一冪級(jí)數(shù)，或者與它等價(jià)的每組數(shù)值稱為函數(shù)的元素。
下面的定理說明了以這種特殊方法作為標(biāo)準(zhǔn)方法的理由，用任何延拓方法得到的函數(shù)值也能通過冪級(jí)數(shù)方法得到。
命C為一連接點(diǎn)
與
的圍道，沿著這條圍道，我們已經(jīng)用某種方法延拓了，即我們有一列公式，這些公式在區(qū)域列中定義了，而具有次之性質(zhì)：(i)C的每一點(diǎn)都是一個(gè)或多個(gè)Dn的內(nèi)點(diǎn)；(ii)相繼的互相交疊，而在公共部分上，的不同定義有相同的值。
我們要用冪級(jí)數(shù)方法實(shí)現(xiàn)此同一過程，即要在C上找一列點(diǎn)使在列中每一點(diǎn)上的收斂圓都包含下一點(diǎn)，并且用冪級(jí)數(shù)方法所得的值與用其他方法得到的相同。又用此方法，經(jīng)過有限多步一定能夠達(dá)到b。
對(duì)于C上每一點(diǎn)z，都有一正收斂半徑與之結(jié)合，并且是z的連續(xù)函數(shù)，若為相鄰二點(diǎn)，并以與表相應(yīng)的收斂半徑，因?yàn)榕c相反的就是所以無論如何，(2)恒成立。將(1)與(2)聯(lián)在一起，就證明了當(dāng)時(shí)有，這就是需要的結(jié)果。
因?yàn)檫B續(xù)，所以它一定能取得下確界；又因它恒正，所以它的下確界一定是正數(shù)，設(shè)此下確界為。
我們從上的冪級(jí)數(shù)出發(fā)，命為沿圍道與a距離等于的地點(diǎn)它落在a點(diǎn)處的收斂圓內(nèi)，故能將函數(shù)展成的冪級(jí)數(shù)，新的收斂半徑至少為，所以又能達(dá)到沿曲線與a距離的點(diǎn)，照此方法繼續(xù)進(jìn)行，很明顯地，經(jīng)過有限次后一定能到達(dá)b。至于用這方法得到的b上的數(shù)值與用其他方法得到的相等的事實(shí)可由一般的唯一性定理推出。
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