權(quán)方和不等式是一個(gè)數(shù)學(xué)中重要的不等式。其證明需要用到赫爾德(Holder)不等式,可用于放縮求最值(極值)、證明不等式等。

中文名

權(quán)方和不等式

類型

不等式

應(yīng)用學(xué)科

數(shù)學(xué)

證明所需公式

赫爾德(Holder)不等式

適用領(lǐng)域

放縮求最值(極值)、證明不等式

公式簡(jiǎn)介

權(quán)方和不等式

是一個(gè)數(shù)學(xué)中重要的不等式。

權(quán)方和不等式

形式

對(duì)于xi,yi>0,當(dāng)m(m+1)>0時(shí):

(x+x+x+………+x+……+x)/(y+y+y+…………+y+……+y)

{[x/y]+[x/y]+[x/y]+…………+[x/y]+……+[x/y]}.

m(m+1)=0時(shí):

(x+x+x+………+x+……+x)/(y+y+y+…………+y+……+y)

=

{[x/y]+[x/y]+[x/y]+…………+[x/y]+……+[x/y]}.

m(m+1)<0時(shí):

(x+x+x+………+x+……+x)/(y+y+y+…………+y+……+y)

{[x/y]+[x/y]+[x/y]+…………+[x/y]+……+[x/y]}.

其中n是正整數(shù)。

取等號(hào)的條件:x/y=x/y=x/y=…………=x/y=……=x/y.

證明

其證明需要用到

赫爾德(Holder)不等式

.

赫爾德不等式

(特殊情形)

對(duì)于實(shí)數(shù)p和q,若p≥1,q<+∞,且1/p+1/q=1.

則對(duì)于所有實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)a1,a2,a3…………ai……an和b1,b2,b3…………bi……bn

恒有|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+……+|aibi|+……+|anbn|≤

[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+……+|ai|^p+……+|an|^p)^(1/p)]*

[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+…+|bi|^q+……+|bn|^q)^(1/q)]

當(dāng)且僅當(dāng)a1^p/b1^q=a2^p/b2^q=a3^p/b3^q=………=ai^p/bi^q=……=an^p/bn^q時(shí),等號(hào)成立。

第一式證明

:因?yàn)閙(m+1)>0,所以m>0或m<-1.

設(shè)ai=xi/yi^[m/(m+1)] bi=yi^[m/(m+1)]

p=m+1 q=(m+1)/m

m>0時(shí),p>1,q<+∞成立,且1/p+1/q=1.

所以對(duì)于ai、bi>0,恒有:

|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+………+|aibi|+…+|anbn|≤

[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+……..……+|ai|^p+……+|an|^p)^(1/p)]*

[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+……....……+|bi|^q+……+|bn|^q)^(1/q)]

也就是x1+x2+x3+…………+xi+……+xn≤{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+

[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}^[1/(m+1)]

*{(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^[m/(m+1)]}

不等式兩邊同時(shí)取(m+1)次冪,得到:

(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1)≤{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+

[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}*

(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m

不等式兩邊同除(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m,就得到

(x1+x2+x3+……+xi+……+xn)^(m+1)/(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≤{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}.得證.

另設(shè)ai=yi/xi^[(m+1)/m],bi=xi^[(m+1)/m]

p=-m q=m/(m+1)

當(dāng)m1,q<+∞成立,且1/p+1/q=1.

所以對(duì)于ai、bi>0,恒有:

|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+…………+|aibi|+……+|anbn|≤

[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+…………+|ai|^p+……+|an|^p)^(1/p)]*

[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+…………+|bi|^q+……+|bn|^q)^(1/q)].

也就是y1+y2+y3+…………+yi+……+yn≤(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^[(m+1)/m]

*{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}^(-1/m).

不等式兩邊同時(shí)做m次冪,此時(shí)不等號(hào)方向改變:

(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≥(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1)

*{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}^(-1)

不等式兩邊取倒數(shù)(不等號(hào)方向改變)再同乘(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1),即得:

(x1+x2+x3+………+xi+……+xn)^(m+1)/(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≤{[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]}.

第一式得證。

第二式證明

m就-1和0兩種取值。

m=0時(shí),原式簡(jiǎn)化為x1+x2+x3+…………+xi+……+xn=x1+x2+x3+…………+xi+……+xn顯然成立;

m=-1時(shí),原式簡(jiǎn)化為y1+y2+y3+…………+yi+……+yn=y1+y2+y3+…………+yi+……yn顯然成立.

第二式得證。

第三式證明

設(shè)ai=yi^(-m),bi=xi^(m+1).

p=-1/m,q=1/(m+1).

當(dāng)m(m+1)m>-1.

此時(shí)p>1,q<+∞成立,且1/p+1/q=1.

也就是[x1^(m+1)/y1^m]+[x2^(m+1)/y2^m]+[x3^(m+1)/y3^m]+…………+[xi^(m+1)/yi^m]+……+[xn^(m+1)/yn^m]≤[(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1)]/[(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m].

第三式得證。

證畢.

取等號(hào)的條件

赫爾德不等式取等號(hào)的條件是:

當(dāng)且僅當(dāng)a1^p/b1^q=a2^p/b2^q=a3^p/b3^q=…………=ai^p/bi^q=……=an^p/bn^q時(shí)等號(hào)成立。

所以第一式中,取等號(hào)的條件分別是:

m>0時(shí)候:

x1^(m+1)/y1^(m+1)=x2^(m+1)/y2^(m+1)=x3^(m+1)/y3^(m+1)=…………=

xi^(m+1)/yi^(m+1)=……=xn^(m+1)/yn^(m+1).

m<-1時(shí)候:

x1^m/y1^m=x2^m/y2^m=x3^m/y3^m=…………=xi^m/yi^m=……=xn^m/yn^m.

第三式中,取等號(hào)的條件是:

0>m>-1時(shí)候:

y1/x1=y2/x2=y3/x3=…………=yi/xi=……=yn/xn.

由于xi、yi都是正數(shù)(也正因?yàn)檫@樣,利用赫爾德不等式證明權(quán)方和不等式時(shí)才能把絕對(duì)值符號(hào)去掉),所以可以分別通過開(m+1)、m、-1次方簡(jiǎn)化為:

x1/y1=x2/y2=x3/y3=…………=xi/yi=……=xn/yn時(shí)等號(hào)成立。

其他信息

進(jìn)一步說明

權(quán)方和不等式是在高中競(jìng)賽中很有用的一個(gè)不等式,常用來處理分式不等式。

它和赫爾德不等式的這個(gè)特殊情形是等價(jià)關(guān)系。

其中m稱為不等式的權(quán),特點(diǎn)是分子次數(shù)比分母高一次。

應(yīng)用

可用于處理分式不等式、放縮求最值(極值)、證明不等式等方面,對(duì)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽有幫助。