雅可比行列式通常稱為雅可比式(Jacobian)它是以n個n元函數(shù)的偏導數(shù)為元素的行列式。事實上,在函數(shù)都連續(xù)可微(即偏導數(shù)都連續(xù))的前提之下,它就是函數(shù)組的微分形式下的系數(shù)矩陣(即雅可比矩陣)的行列式。若因變量對自變量連續(xù)可微,而自變量對新變量連續(xù)可微,則因變量也對新變量連續(xù)可微。這可用行列式的乘法法則和偏導數(shù)的連鎖法則直接驗證。也類似于導數(shù)的連鎖法則。偏導數(shù)的連鎖法則也有類似的公式;這常用于重積分的計算中。如果在一個連通區(qū)域內雅可比行列式處處不為零,它就處處為正或者處處為負。如果雅可比行列式恒等于零,則函數(shù)組是函數(shù)相關的,其中至少有一個函數(shù)是其余函數(shù)的一個連續(xù)可微的函數(shù)。

中文名

雅可比行列式

外文名

Jacobian

應用學科

高等數(shù)學

提出者

雅可比

別名

雅可比式

驗證方式

若因變量

對自變量

連續(xù)可微,而自變量

對新變量

連續(xù)可微,則因變量(

)也對新變量(

)連續(xù)可微,并且

這可用行列式的乘法法則和偏導數(shù)的連鎖法則直接驗證。偏導數(shù)的連鎖法則也有類似的公式;例如,當

對(

)連續(xù)可微,而(

)對(

)連續(xù)可微時,便有

如果(3)中的

能回到

,則

這時必須有

于是以此為系數(shù)行列式的聯(lián)立線性方程組(2)中能夠把(

)解出來。

由隱函數(shù)存在定理可知,在(

)?對連續(xù)可微的前提下,只須

便足以保證(

)對(

)連續(xù)可微。這樣,連續(xù)可微函數(shù)組便在雅可比行列式不等于零的條件之下,在每一對相應點u與x的鄰近范圍內建立起點與點之間的一個一對一的對應關系。

的情形,以

為鄰邊的矩形(

)對應到(

)平面上的一個曲邊四邊形(

),其面積

關于

的線性主要部分,即面積微分是

這常用于重積分的計算中。

如果在一個連通區(qū)域內雅可比行列式處處不為零,它就處處為正或者處處為負(其正負號標志著u-坐標系的旋轉定向是否與

坐標系的一致)。如果雅可比行列式恒等于零,則函數(shù)組(

)是函數(shù)相關的,其中至少有一個函數(shù)是其余函數(shù)的一個連續(xù)可微的函數(shù)。