為了對(duì)實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)進(jìn)行嚴(yán)格描述而產(chǎn)生的理論。實(shí)數(shù)理論的產(chǎn)生源于對(duì)微積分的理論基礎(chǔ)嚴(yán)密化的追求，人類早期對(duì)實(shí)數(shù)的認(rèn)識(shí)僅僅局限于應(yīng)用，對(duì)無理數(shù)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)是不清楚的，并沒有嚴(yán)格的定義，微積分誕生之后，隨著對(duì)變量與函數(shù)的認(rèn)識(shí)逐漸清晰，出于嚴(yán)密化的需要，先后誕生了極限理論、實(shí)數(shù)理論。實(shí)數(shù)理論是分析基礎(chǔ)的三大部分之一，另外兩個(gè)部分是極限理論、變量與函數(shù)。極限理論是數(shù)學(xué)分析的基本研究方法，而變量與函數(shù)是數(shù)學(xué)分析的基本研究對(duì)象。實(shí)數(shù)理論的成功建立，使得分析基礎(chǔ)形成了一個(gè)完整的體系，標(biāo)志著由魏爾斯特拉斯倡導(dǎo)的分析算術(shù)化運(yùn)動(dòng)大致宣告完成，從而第一次數(shù)學(xué)危機(jī)也在真正的意義上得到了解決。

中文名

實(shí)數(shù)理論

外文名

real number theory

別名

實(shí)數(shù)論

應(yīng)用學(xué)科

數(shù)學(xué)

理論基礎(chǔ)

公理集合論

研究?jī)?nèi)容

實(shí)數(shù)定義及相關(guān)運(yùn)算的嚴(yán)格表述

基本介紹

德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金

實(shí)數(shù)是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一。實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)可以一一對(duì)應(yīng)。數(shù)學(xué)分析所研究的函數(shù)，其自變量都取實(shí)數(shù)值，因此認(rèn)識(shí)和了解實(shí)數(shù)是建立嚴(yán)格的分析理論不可缺少的基礎(chǔ)（“分析基礎(chǔ)”）。實(shí)數(shù)包括有理數(shù)與無理數(shù)，而從歐幾里得以來，人們都把它們理解為單位長(zhǎng)線段可公度與不可公度的線段的長(zhǎng)度。到17世紀(jì)，人們對(duì)實(shí)數(shù)的使用已經(jīng)習(xí)以為常，并開始脫離其幾何原型抽象地認(rèn)識(shí)實(shí)數(shù)。但到19世紀(jì)中葉，在分析嚴(yán)格化的進(jìn)程中，由于一些事實(shí)無法證明（例如，柯西無法證明自己提出的收斂準(zhǔn)則的充分性），一些證明出了錯(cuò)（如波爾查諾對(duì)連續(xù)函數(shù)介值性的證明），人們才發(fā)現(xiàn)對(duì)實(shí)數(shù)特別是無理數(shù)的認(rèn)識(shí)仍然模糊不清，這才促使一批數(shù)學(xué)家關(guān)注于處理無理數(shù)的問題。通過他們的努力，終于在將近半個(gè)世紀(jì)的時(shí)間里，建立了多種形式上不同，而實(shí)質(zhì)上等價(jià)的嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論。各種形式的構(gòu)造性實(shí)數(shù)理論，都是首先從有理數(shù)出發(fā)去定義無理數(shù)，也就是說，數(shù)軸上有理點(diǎn)之間的所有空隙（無理點(diǎn)），都可以由有理數(shù)經(jīng)過一定的方式來確定。然后證明這樣定義的實(shí)數(shù)（原有的有理數(shù)和新定義的無理數(shù)）具有人們?cè)瓉硎熘膶?shí)數(shù)所應(yīng)有的一切性質(zhì)，特別是連續(xù)性。這些形式上不同的實(shí)數(shù)理論也就因確定空隙的方法不同而互相區(qū)分，它們主要有：戴德金用有理數(shù)的分割的方法，康托爾用有理數(shù)的基本列的方法，魏爾斯特拉斯用無窮（非循環(huán)）十進(jìn)小數(shù)的方法，以及用端點(diǎn)為有理點(diǎn)的閉區(qū)間套和有界單調(diào)有理數(shù)列的方法。站在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的立場(chǎng)來看，上述各種方法都是從假定實(shí)數(shù)具有某種特性出發(fā)的（如戴德金的方法假定了實(shí)數(shù)的連續(xù)性，康托爾假定的是完備性，而用閉區(qū)間套的方法反映了實(shí)軸上有界閉集的緊性），而這些特性在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都是等價(jià)的，因而用這些方法定義出的實(shí)數(shù)都是完全相同的。此外，還有一種與上述構(gòu)造法完全不同的定義實(shí)數(shù)的方法（即“實(shí)數(shù)公理”）。他將實(shí)數(shù)應(yīng)有的一些基本性質(zhì)列為一個(gè)公理系統(tǒng)，然后將滿足這個(gè)公理系統(tǒng)的對(duì)象定義為實(shí)數(shù)?；谶@些公理的實(shí)數(shù)理論與上述基于構(gòu)造法的也相互等價(jià)。

當(dāng)然還應(yīng)當(dāng)指出，不僅極限理論需要在實(shí)數(shù)系中才能成立，就是中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多初等函數(shù)，除了多項(xiàng)式和有理分式之外，沒有實(shí)數(shù)也是無法給出定義的。將無限不循環(huán)小數(shù)定義為無理數(shù)是容易為學(xué)生所接受的，但在這樣定義的實(shí)數(shù)系內(nèi)四則運(yùn)算是如何進(jìn)行的，還是完全不清楚的，而且實(shí)際上也不是簡(jiǎn)單的。至于指數(shù)和對(duì)數(shù)

當(dāng)其中

都是實(shí)數(shù)時(shí)應(yīng)當(dāng)如何定義就更加困難了。由此可見，即使為了對(duì)初等函數(shù)給出嚴(yán)格的定義，也需要回答什么是實(shí)數(shù)這樣一個(gè)問題。當(dāng)然這不是中學(xué)數(shù)學(xué)要承擔(dān)的任務(wù)。

歷史背景

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派

公元前500年，古希臘畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)學(xué)派的弟子希帕索斯(Hippasus)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)，一個(gè)正方形的對(duì)角線與其一邊的長(zhǎng)度是不可公度的(若正方形邊長(zhǎng)是1，則對(duì)角線的長(zhǎng)不是一個(gè)有理數(shù))這一不可公度性與畢氏學(xué)派“萬物皆為數(shù)”(指有理數(shù))的哲理大相徑庭。這一發(fā)現(xiàn)使該學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人惶恐、惱怒，認(rèn)為這將動(dòng)搖他們?cè)趯W(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位。希帕索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的懲處。

畢氏弟子的發(fā)現(xiàn)，第一次向人們揭示了有理數(shù)系的缺陷，證明它不能同連續(xù)的無限直線同等看待，有理數(shù)并沒有布滿數(shù)軸上的點(diǎn)，在數(shù)軸上存在著不能用有理數(shù)表示的“孔隙”。而這種“孔隙”經(jīng)后人證明簡(jiǎn)直多得“不可勝數(shù)”。于是，古希臘人把有理數(shù)視為連續(xù)銜接的那種算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想徹底地破滅了。不可公度量的發(fā)現(xiàn)連同著名的芝諾悖論一同被稱為數(shù)學(xué)史上的第一次危機(jī)（第一次數(shù)學(xué)危機(jī)），對(duì)以后2000多年數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，促使人們從依靠直覺、經(jīng)驗(yàn)而轉(zhuǎn)向依靠證明，推動(dòng)了公理幾何學(xué)與邏輯學(xué)的發(fā)展，并且孕育了微積分的思想萌芽。

不可通約的本質(zhì)是什么？長(zhǎng)期以來眾說紛壇，得不到正確的解釋，兩個(gè)不可通約的比值也一直被認(rèn)為是不可理喻的數(shù)。15世紀(jì)意大利著名畫家達(dá)。芬奇稱之為“無理的數(shù)”，17世紀(jì)德國(guó)天文學(xué)家開普勒稱之為“不可名狀”的數(shù)。

然而，真理畢竟是淹沒不了的，畢氏學(xué)派抹殺真理才是“無理”。人們?yōu)榱思o(jì)念希帕索斯這位為真理而獻(xiàn)身的可敬學(xué)者，就把不可通約的量取名為“無理數(shù)”——這便是“無理數(shù)”的由來。

畢達(dá)哥拉斯

無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，擊碎了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“萬物皆數(shù)”的美夢(mèng)。同時(shí)暴露出有理數(shù)系的缺陷：一條直線上的有理數(shù)盡管是“稠密”，但是它卻漏出了許多“孔隙”，而且這種“孔隙”多的“不可勝數(shù)”。這樣，古希臘人把有理數(shù)視為是連續(xù)銜接的那種算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想，就徹底的破滅了。它的破滅，在以后兩千多年時(shí)間內(nèi)，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展，起到了深遠(yuǎn)的影響。不可通約的本質(zhì)是什么？長(zhǎng)期以來眾說紛紜。兩個(gè)不可通約量的比值也因其得不到正確的解釋，而被認(rèn)為是不可理喻的數(shù)。15世紀(jì)達(dá)芬奇（LeonardodaVinci,1452-1519）把它們稱為是“無理的數(shù)”（irrationalnumber），開普勒（J.Kepler,1571-1630）稱它們是“不可名狀”的數(shù)。這些“無理”而又“不可名狀”的數(shù)，找到雖然在后來的運(yùn)算中漸漸被使用，但是它們究竟是不是實(shí)實(shí)在在的數(shù)，卻一直是個(gè)困擾人的問題。

中國(guó)古代數(shù)學(xué)在處理開方問題時(shí)，也不可避免地碰到無理根數(shù)。對(duì)于這種“開之不盡”的數(shù)，《九章算術(shù)》直截了當(dāng)?shù)亍耙悦婷庇枰越邮?，劉徽注釋中的“求其微?shù)”，實(shí)際上是用10進(jìn)小數(shù)來無限逼近無理數(shù)。這本是一條完成實(shí)數(shù)系統(tǒng)的正確道路，只是劉徽的思想遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了他的時(shí)代，而未能引起后人的重視。不過，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)關(guān)注的是數(shù)量的計(jì)算，對(duì)數(shù)的本質(zhì)并沒有太大的興趣，而善于究根問底的希臘人就無法邁過這道坎了。既然不能克服它，那就只好回避它。此后的希臘數(shù)學(xué)家，如歐多克斯（Eudoxus）、歐幾里得（Euclid）在他們的幾何學(xué)里，都嚴(yán)格避免把數(shù)與幾何量等同起來。歐多克斯的比例論（見《幾何原本》第5卷），使幾何學(xué)在邏輯上繞過了不可公度的障礙，但就在這以后的漫長(zhǎng)時(shí)期中，形成了幾何與算術(shù)的顯著分離。

法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西

17、18世紀(jì)微積分的發(fā)展幾乎吸引了所有數(shù)學(xué)家的注意力，恰恰是人們對(duì)微積分基礎(chǔ)的關(guān)注，使得實(shí)數(shù)域的連續(xù)性問題再次突顯出來。因?yàn)?，微積分是建立在極限運(yùn)算基礎(chǔ)上的變量數(shù)學(xué)，而極限運(yùn)算，需要一個(gè)封閉的數(shù)域。無理數(shù)正是實(shí)數(shù)域連續(xù)性的關(guān)鍵。

無理數(shù)是什么？法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西（A.Cauchy,1789-1875）給出了回答：無理數(shù)是有理數(shù)序列的極限。然而按照柯西的極限定義，所謂有理數(shù)序列的極限，意即預(yù)先存在一個(gè)確定的數(shù)，使它與序列中各數(shù)的差值，當(dāng)序列趨于無窮時(shí)，可以任意小。但是，這個(gè)預(yù)先存在的“數(shù)”，又從何而來呢？在柯西看來，有理序列的極限，似乎是先驗(yàn)地存在的。這表明，柯西盡管是那個(gè)時(shí)代大分析學(xué)家，但仍未能擺脫兩千多年來以幾何直覺為立論基礎(chǔ)的傳統(tǒng)觀念的影響。

變量數(shù)學(xué)獨(dú)立建造完備數(shù)域的歷史任務(wù)，終于在19世紀(jì)后半葉，由魏爾斯特拉斯（Weierstrass,1815-1897）、戴德金（R.Dedekind1831-1916）、康托（G.Cantor,1845-1918）等人加以完成了。

1872年，是近代數(shù)學(xué)史上最值得紀(jì)念的一年。這一年，克萊因（F.Kline,1849-1925）提出了著名的“埃爾朗根綱領(lǐng)”（ErlangerProgramm），魏爾斯特拉斯給出了處處連續(xù)但處處不可微函數(shù)的著名例子。也正是在這一年，實(shí)數(shù)的三大派理論：戴德金“分割”理論；康托的“基本序列”理論，以及魏爾斯特拉斯的“有界單調(diào)序列”理論，同時(shí)在德國(guó)出現(xiàn)了。

德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因

努力建立實(shí)數(shù)的目的，是為了給出一個(gè)形式化的邏輯定義，它既不依賴幾何的含義，又避免用極限來定義無理數(shù)的邏輯錯(cuò)誤。有了這些定義做基礎(chǔ)，微積分中關(guān)于極限的基本定理的推導(dǎo)，才不會(huì)有理論上的循環(huán)。導(dǎo)數(shù)和積分從而可以直接在這些定義上建立起來，免去任何與感性認(rèn)識(shí)聯(lián)系的性質(zhì)。幾何概念是不能給出充分明白和精確的，這在微積分發(fā)展的漫長(zhǎng)歲月的過程中已經(jīng)被證明。因此，必要的嚴(yán)格性只有通過數(shù)的概念，并且在割斷數(shù)的概念與幾何量觀念的聯(lián)系之后才能完全達(dá)到。這里，戴德金的工作受到了崇高的評(píng)價(jià)，這是因?yàn)?，由“戴德金分割”定義的實(shí)數(shù)，是完全不依賴于空間與時(shí)間直觀的人類智慧的創(chuàng)造物。

實(shí)數(shù)的三大派理論本質(zhì)上是對(duì)無理數(shù)給出嚴(yán)格定義，從而建立了完備的實(shí)數(shù)域。實(shí)數(shù)域的構(gòu)造成功，使得兩千多年來存在于算術(shù)與幾何之間的鴻溝得以完全填平，無理數(shù)不再是“無理的數(shù)”了，古希臘人的算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想，也終于在嚴(yán)格的科學(xué)意義下得以實(shí)現(xiàn)。

由于實(shí)數(shù)理論的內(nèi)容過于龐大，處理方式也各有不同，因此，它的有關(guān)理論也散見于各種文獻(xiàn)中，以下是對(duì)定義實(shí)數(shù)系方法的文獻(xiàn)綜述。

文獻(xiàn)綜述

公理化方法

所謂公理化方法，起源于古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》。在該書中對(duì)于幾何學(xué)提出了為數(shù)絕少的幾條公理，然后用邏輯推理的方法得到所有其它定理，從而將整個(gè)幾何學(xué)建成為一個(gè)明白易懂又非常嚴(yán)格的邏輯體系。只要公理不錯(cuò)，則所有得到的定理的真理性也就沒有問題。這里的所謂公理，聽起來似乎抽象，實(shí)際上就是大家都能夠接受，對(duì)它們的正確性沒有疑問的幾個(gè)事實(shí)。

所謂實(shí)數(shù)系的公理化方法也是如此，我們將心目中實(shí)數(shù)應(yīng)當(dāng)具有的盡可能少的獨(dú)立性質(zhì)列出來作為公理，使得其他性質(zhì)都可以由公理推出來，這就建成了一個(gè)公理化系統(tǒng)（“實(shí)數(shù)公理”）。

希爾伯特公理化方法刻畫了我們所需要的實(shí)數(shù)系究竟是什么樣的，它解決了中學(xué)數(shù)學(xué)中有關(guān)實(shí)數(shù)的許多遺留問題，如到底什么是實(shí)數(shù)的加法和乘法，為什么實(shí)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，乘法也滿足交換律、結(jié)合律等，可以理解為公理規(guī)定的，事實(shí)上，如果提供更為基本的假設(shè)（比如在有理數(shù)的基礎(chǔ)上），這些運(yùn)算律都是可以證明的。它還保證了

實(shí)數(shù)系的基本定理

的成立，為數(shù)學(xué)分析中極限理論的展開提供了必要的舞臺(tái)。而滿足這些公理的實(shí)數(shù)系是否存在，存在性問題是靠下述各種構(gòu)造方法解決的，也就是給出生成實(shí)數(shù)系的具體方法，同時(shí)證明在其中滿足公理化方法中列出的所有公理。有關(guān)公理化的方法可以參看卓里奇的《數(shù)學(xué)分析（第一卷）》。

存在性

實(shí)數(shù)系的存在性是通過

構(gòu)造法

引入的，以下是構(gòu)造實(shí)數(shù)系的三種方法（主要是從有理數(shù)定義出無理數(shù)）。

1.戴德金分割方法

德國(guó)數(shù)學(xué)家蘭道

戴德金分割的方法在有關(guān)數(shù)學(xué)分析的著作中多有介紹。最經(jīng)典的敘述是蘭道特地為此編寫的小書《分析基礎(chǔ)》，這本書的副標(biāo)題就是“整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)的運(yùn)算”，該書從自然數(shù)出發(fā)，一直定義到復(fù)數(shù)，把完整的數(shù)系定義展現(xiàn)了出來。

在前蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)分析教材中對(duì)戴德金方法做完整敘述的，首推由三卷本組成的經(jīng)典教材：菲赫金哥爾茨的《微積分學(xué)教程》。該書的緒論對(duì)戴德金分割方法有完整的敘述，它為全書奠定了牢靠的基礎(chǔ)。另外還可以看亞歷山大羅夫的《集與函數(shù)的泛論初階》和辛欽的《數(shù)學(xué)分析八講》第一講，魯金的《實(shí)變函數(shù)論》附錄Ⅰ，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系的《數(shù)學(xué)分析（第三版）》附錄Ⅱ。

在西方教材中，斯皮瓦克的《微積分》在開始時(shí)用兩章詳細(xì)介紹了數(shù)系的公理，書末又用三章講如何構(gòu)造實(shí)數(shù)；盧丁的《數(shù)學(xué)分析原理》的第一章和附錄有對(duì)實(shí)數(shù)理論簡(jiǎn)短的敘述。這兩種教材對(duì)戴德金分割的方法都有所改動(dòng)，從數(shù)學(xué)史（波耶的《微積分概念史，對(duì)導(dǎo)數(shù)與積分的歷史性評(píng)論》一書中）知道，這基本上就是羅素提出的實(shí)數(shù)定義方法。

在各種引入實(shí)數(shù)系的方法中，戴德金分割方法受到了高度的評(píng)價(jià)，被稱作完全不依賴于空間與時(shí)間直觀的人類智慧的創(chuàng)造物。

2.康托爾的基本列（即柯西列）方法

這方面的內(nèi)容可以參考辛欽的《數(shù)學(xué)分析簡(jiǎn)明教程》第四章，范德瓦爾登的《代數(shù)學(xué)》第68節(jié)，許紹溥、宋國(guó)柱等編的《數(shù)學(xué)分析》第五章，鄒應(yīng)的《數(shù)學(xué)分析》第二章以及華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系的《數(shù)學(xué)分析（第一版）》的附錄Ⅱ。

3.魏爾斯特拉斯從十進(jìn)小數(shù)表示出發(fā)的方法

德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯

這種方法與前兩個(gè)方法不同，不需要引入新的數(shù)學(xué)對(duì)象作為無理數(shù)，而是從中學(xué)已有的定義出發(fā)，即承認(rèn)十進(jìn)制有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而十進(jìn)制無限非循環(huán)小數(shù)則是無理數(shù)。這樣就比較容易為中學(xué)生所接受。因此也稱為

中學(xué)生的實(shí)數(shù)理論

。

但為什么是十進(jìn)制無限非循環(huán)小數(shù)？這里不可避免地涉及到極限問題。在有了柯西準(zhǔn)則之后，我們可以從數(shù)列極限或無窮級(jí)數(shù)之和來理解十進(jìn)制無限非循環(huán)小數(shù)。但在建立實(shí)數(shù)系之前是不能如此理解的，否則就與歷史上的柯西犯同樣的錯(cuò)誤了。

因此，為了避免邏輯上的循環(huán)定義，在將十進(jìn)制無限非循環(huán)小數(shù)定義為無理數(shù)時(shí)，一開始不可能將它看成是一個(gè)無窮級(jí)數(shù)的和，而只是將它看成一個(gè)純粹的記號(hào)，一個(gè)還不清楚有什么意義的數(shù)學(xué)對(duì)象。然后在所有十進(jìn)制小數(shù)全體組成的集合內(nèi)引入加法、乘法運(yùn)算，并規(guī)定其中任何兩個(gè)小數(shù)之間的序，并驗(yàn)證它滿足域公理、序公理、阿基米德公理和連續(xù)性公理這4組公理。當(dāng)然這里需要經(jīng)過很多步驟的推論。事實(shí)上，認(rèn)為這樣一種記號(hào)代表實(shí)數(shù)也是一種數(shù)學(xué)抽象，而且這也是連續(xù)性公理的另一種等價(jià)形式，歷史上沃利斯于1696年將有理數(shù)與循環(huán)小數(shù)等同。而斯托爾茨則于1886年提出將十進(jìn)制無限非循環(huán)小數(shù)作為無理數(shù)的定義，但仍未建立起一個(gè)滿意的實(shí)數(shù)理論。

從十進(jìn)制小數(shù)開始講實(shí)數(shù)的教材很多，例如可以參考阿黑波夫的《數(shù)學(xué)分析講義》，關(guān)肇直的《高等數(shù)學(xué)教程》和華羅庚的《高等數(shù)學(xué)引論》等。在張筑生的《數(shù)學(xué)分析新講》的第一章比較詳細(xì)的講解了在十進(jìn)制小數(shù)中引入四則運(yùn)算的嚴(yán)格方法。

可以歸入這條途徑的還有一種做法，就是引進(jìn)以有理數(shù)為端點(diǎn)的閉區(qū)間套原理作為連續(xù)性公理的一種替代物。它既比較直觀，同時(shí)又避開了十進(jìn)制無限非循環(huán)小數(shù)這類一開始難以說清楚的對(duì)象，也是一種好方法。

惟一性

首先要明白這里惟一性的確切含義，這里指的是在同構(gòu)意義上的惟一性，具體來說，就是證明凡是滿足實(shí)數(shù)公理的實(shí)數(shù)系模型都是同構(gòu)的。

按照戴德金方法建立實(shí)數(shù)系后對(duì)其在同構(gòu)意義下的惟一性的討論可以參看斯皮瓦克的《微積分》最后一章“實(shí)數(shù)的惟一性”。按照康托爾的柯西列方法建立實(shí)數(shù)系時(shí)的惟一性的討論可以參看許紹溥、宋國(guó)柱等編的《數(shù)學(xué)分析》第五章的最后部分的證明。