在數(shù)學(xué)里,區(qū)間通常是指這樣的一類實(shí)數(shù)集合:如果x和y是兩個(gè)在集合里的數(shù),那么,任何x和y之間的數(shù)也屬于該集合。例如,由符合0≤x≤1的實(shí)數(shù)所構(gòu)成的集合,便是一個(gè)區(qū)間,它包含了0、1,還有0和1之間的全體實(shí)數(shù)。其他例子包括:實(shí)數(shù)集,負(fù)實(shí)數(shù)組成的集合等。

區(qū)間在積分理論中起著重要作用,因?yàn)樗鼈冏鳛樽?quot;簡單"的實(shí)數(shù)集合,可以輕易地給它們定義"長度"、或者說"測度"。然后,"測度"的概念可以拓,引申出博雷爾測度,以及勒貝格測度。

區(qū)間也是區(qū)間算術(shù)的核心概念。區(qū)間算術(shù)是一種數(shù)值分析方法,用于計(jì)算舍去誤差。

區(qū)間的概念還可以推廣到任何全序集T的子集S,使得若x和y均屬于S,且x<z<y,則z亦屬于S。例如整數(shù)區(qū)間[-1...2]即是指{-1,0,1,2}這個(gè)集合。

中文名

區(qū)間

外文名

interval

標(biāo)準(zhǔn)

新制訂的ISO 80000-2

應(yīng)用范圍

數(shù)學(xué)領(lǐng)域

記號(hào)

()和[]

類型

數(shù)學(xué)術(shù)語

地位

區(qū)間算術(shù)的核心概念

記號(hào)

通用的區(qū)間記號(hào)中,圓括號(hào)表示“排除”,方括號(hào)表示“包括”。例如,區(qū)間(10,20)表示所有在10和20之間的實(shí)數(shù),但不包括10或20。另一方面,[10,20]表示所有在10和20之間的實(shí)數(shù),以及10和20。而當(dāng)我們?nèi)我庵敢粋€(gè)區(qū)間時(shí),一般以大寫字母I記之。

有的國家是用逗號(hào)來代表小數(shù)點(diǎn),為免產(chǎn)生混淆,分隔兩數(shù)的逗號(hào)要用分號(hào)來代替。例如

[1,2.3]

就要寫成

[1;2,3]

。否則,若只把小數(shù)點(diǎn)寫成逗號(hào),之前的例子就會(huì)變成

[1,2,3]

了。這時(shí)就不能知道究竟是1.2與3之間,還是1與2.3之間的區(qū)間了。

在法國及其他一些歐洲國家,是用]與[代替(與)比如

寫成

寫成]1,2[,

這種寫法原先也包括在國際標(biāo)準(zhǔn)化組織編制的ISO31-11內(nèi)。ISO31-11是一套有關(guān)物理科學(xué)及科技中所使用的數(shù)學(xué)符號(hào)的規(guī)范。在2009年,已由新制訂的ISO80000-2所取替,不再包括]與[的用法。

定義

用集合的語言,我們定義各種區(qū)間為:

注意

均是代表空集,單元素集合不能用區(qū)間表示,如集合{0}不能表示為或[0,0]。而當(dāng)a>b時(shí),上述的四種記號(hào)一般都視為代表空集。區(qū)間不為空集時(shí),a,b稱為區(qū)間的端點(diǎn)。一般定義b-a為區(qū)間的長度。區(qū)間的中點(diǎn)則為

區(qū)間[a,b]有時(shí)也稱為線段。(不為空集或單元素集的話)

除了表示區(qū)間,圓括號(hào)和方括號(hào)也有其他用法,視乎語境而定。譬如

也可表示集合論中的有序?qū)ω冀馕鰩缀沃悬c(diǎn)的坐標(biāo),線性代數(shù)中向量的坐標(biāo),有時(shí)也用來表示一個(gè)復(fù)數(shù),有時(shí)在數(shù)論中,用

表示整數(shù)

的最大公約數(shù)。

也偶爾用作表示有序?qū)?,尤其在?jì)算機(jī)科學(xué)的范疇里。同樣在數(shù)論里,用

表示整數(shù)

的最小公倍數(shù)。

有部分作者以

來表示區(qū)間

在實(shí)數(shù)集里的補(bǔ)集,即是包含了小于或等于a的實(shí)數(shù),以及大于或等于b的實(shí)數(shù)。

無限區(qū)間

我們可以用

符號(hào)來表示區(qū)間在某方向上無界。具體定義如下:

特別地,

表示正實(shí)數(shù)集,亦記作

則表示了非負(fù)實(shí)數(shù)集。

如果區(qū)間是單側(cè)無界,也稱為射線或半直線。如果它包含有限端點(diǎn),則稱其為閉射線或閉半直線。如果不包含有限端點(diǎn),則稱其為開射線或開半直線。

一般使用的便是以上五種記號(hào),而

等的寫法則相當(dāng)少見。有的作者假定區(qū)間為實(shí)數(shù)集的子集,對(duì)于他們來說,這些寫法要麼是無意義,要麼就是跟用圓括號(hào)的意思沒兩樣。在後者的情況下,我們可以寫作

。于是實(shí)數(shù)集可被視為又開又閉的區(qū)間。

如果我們考慮擴(kuò)展的實(shí)數(shù)軸,那么這四種寫法是有數(shù)的區(qū)間。

一般而言,對(duì)于整數(shù)a,b,具體寫作:

。

除了[a..b],也有{a..b}和a..b的寫法,意思一樣。

[a..b]的記號(hào)被用于一些程式語言,例如Pascal和Haskell。

如果一個(gè)整數(shù)區(qū)間是有界的話,那麼它必然包含最小數(shù)a和最大數(shù)b。因此,如果想定義去掉最小數(shù)或最大數(shù)的區(qū)間,只需用[a..b-1],[a+1..b]或[a+1..b-1]表示。無需像實(shí)數(shù)區(qū)間般引進(jìn)[a..b)或(a..b)的記號(hào)。

分類

實(shí)數(shù)區(qū)間一共可分成11種,如下所列。其中a,b是實(shí)數(shù),且a

1.

空集

2.

退化區(qū)間

(degenrateinterval):

有界區(qū)間

3.閉區(qū)間:

4.開區(qū)間:

5.左閉右開區(qū)間:

6.左開右閉區(qū)間:

單側(cè)無界

有下界但無上界:

7.左閉:

8.左開:

有上界但無下界:

9.右閉:

10.右開:

11.

雙側(cè)無界

#1、#4、#8、#10、和#11可稱為“開區(qū)間”(標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)湎率情_集),#1、#2、#3、#7、#9和#11可稱為“閉區(qū)間”(標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)湎率情]集)。#3和#4有時(shí)稱為“半開區(qū)間”或“半閉區(qū)間”。#1和#11同時(shí)為“開”和“閉”,并非“半開”、“半閉”。

表示法

區(qū)間表示法是指在實(shí)數(shù)線上,以視覺化的方式表示出一個(gè)區(qū)間的范圍。亦指以區(qū)間形式給出(含有一個(gè)未知數(shù)x的)不等式的解集。

性質(zhì)

上述的各種區(qū)間正是實(shí)數(shù)軸上的全體連通子集。由此可推得,一個(gè)區(qū)間在連續(xù)函數(shù)下的像也是一個(gè)區(qū)間,這是介值定理的另外一個(gè)表述。

區(qū)間也恰好涵蓋了實(shí)數(shù)集的所有凸的子集。另,設(shè)X是

的一個(gè)子集,如果Y是包含X的最小閉區(qū)間(即如果Z是另一個(gè)包含X的閉區(qū)間,Y也包含于Z),便是Y的凸包。實(shí)際上,

任意一組區(qū)間的交集仍然是區(qū)間。兩個(gè)區(qū)間的并集是區(qū)間,當(dāng)且僅當(dāng)它們的交集非空,又或者一個(gè)區(qū)間所不包含的端點(diǎn),恰好是另一個(gè)區(qū)間包含的端點(diǎn)。例如:

如果把

當(dāng)作度量空間,它的開球便是區(qū)間

(r為正數(shù)),閉球便是區(qū)間

定義推廣

多維區(qū)間

一個(gè)n維區(qū)間可定義為

的子集,其為n個(gè)區(qū)間的笛卡爾積,即

時(shí),一般來說是定義了一個(gè)長方形,它的長和闊分別平行于兩條坐標(biāo)軸。

時(shí),一般的是定義了一個(gè)長方體,它的各邊同樣是平行于坐標(biāo)軸。

復(fù)數(shù)區(qū)間

復(fù)數(shù)的區(qū)間可定義成復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域,兩種合理的選擇是長方形或圓盤。

算法

區(qū)間算術(shù)又稱區(qū)間數(shù)學(xué)、區(qū)間分析、區(qū)間計(jì)算,在1950、60年代引進(jìn)以作數(shù)值分析上計(jì)算舍去誤差的工具。

區(qū)間算術(shù)的基本運(yùn)算是,對(duì)于實(shí)數(shù)線上的子集

被一個(gè)包含零的區(qū)間除,在基礎(chǔ)區(qū)間算術(shù)上無定義。

區(qū)間算術(shù)的加法和乘法符合交換律、結(jié)合律和子分配律:集

的子集。