概率論（研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學(xué)分支）
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概率論是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律。隨機(jī)現(xiàn)象是指試驗(yàn)或觀察前不能確定出現(xiàn)哪種結(jié)果的現(xiàn)象，具有偶然性。概率論旨在從數(shù)量上描述和解釋這些隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律。 概率論的研究范圍很廣，包括概率模型、隨機(jī)過(guò)程、隨機(jī)變量和它們的分布、隨機(jī)事件的概率、獨(dú)立性和馬爾可夫性等。這些概念和工具可以用來(lái)描述和解釋各種現(xiàn)實(shí)世界中的隨機(jī)現(xiàn)象，如自然現(xiàn)象、工程系統(tǒng)、金融市場(chǎng)等。 概率論在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中都有廣泛應(yīng)用。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)、金融數(shù)學(xué)、風(fēng)險(xiǎn)分析等領(lǐng)域的核心基礎(chǔ)。在其他學(xué)科中，概率論被廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、生物學(xué)、社會(huì)科學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域，例如天氣預(yù)報(bào)、遺傳學(xué)研究、市場(chǎng)預(yù)測(cè)等。 總之，概率論是一種重要的數(shù)學(xué)工具，用于研究和解釋隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律和行為。概率論
研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學(xué)分支
概率論
概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支。隨機(jī)現(xiàn)象是相對(duì)于決定性現(xiàn)象而言的。在一定條件下必然發(fā)生某一結(jié)果的現(xiàn)象稱(chēng)為決定性現(xiàn)象。例如在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，純水加熱到100℃時(shí)水必然會(huì)沸騰等。隨機(jī)現(xiàn)象則是指在基本條件不變的情況下，每一次試驗(yàn)或觀察前，不能肯定會(huì)出現(xiàn)哪種結(jié)果，呈現(xiàn)出偶然性。例如，擲一硬幣，可能出現(xiàn)正面或反面。隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)。隨機(jī)試驗(yàn)的每一可能結(jié)果稱(chēng)為一個(gè)基本事件，一個(gè)或一組基本事件統(tǒng)稱(chēng)隨機(jī)事件，或簡(jiǎn)稱(chēng)事件。典型的隨機(jī)試驗(yàn)有擲骰子、扔硬幣、抽撲克牌以及輪盤(pán)游戲等。
基本信息
中文名
概率論
外文名
Probability Theory
常用實(shí)驗(yàn)
擲骰子、擲硬幣等
定義
事情發(fā)生的可能性
運(yùn)用領(lǐng)域
提出者
吉羅拉莫·卡爾達(dá)諾
發(fā)展過(guò)程
起源
概率論是一門(mén)研究事情發(fā)生的可能性的學(xué)問(wèn)，但是最初概率論的起源與賭博問(wèn)題有關(guān)。16世紀(jì)，意大利的學(xué)者吉羅拉莫·卡爾達(dá)諾（Girolamo Cardano）開(kāi)始研究擲骰子等賭博中的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。
概率與統(tǒng)計(jì)的一些概念和簡(jiǎn)單的方法，早期主要用于賭博和人口統(tǒng)計(jì)模型。隨著人類(lèi)的社會(huì)實(shí)踐，人們需要了解各種不確定現(xiàn)象中隱含的必然規(guī)律性，并用數(shù)學(xué)方法研究各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小，從而產(chǎn)生了概率論，并使之逐步發(fā)展成一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科。概率與統(tǒng)計(jì)的方法日益滲透到各個(gè)領(lǐng)域，并廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、醫(yī)學(xué)、金融保險(xiǎn)甚至人文科學(xué)中。
發(fā)展
隨著18、19世紀(jì)科學(xué)的發(fā)展，人們注意到在某些生物、物理和社會(huì)現(xiàn)象與機(jī)會(huì)游戲之間有某種相似性，從而由機(jī)會(huì)游戲起源的概率論被應(yīng)用到這些領(lǐng)域中；同時(shí)這也大大推動(dòng)了概率論本身的發(fā)展。使概率論成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支的奠基人是瑞士數(shù)學(xué)家伯努利，他建立了概率論中第一個(gè)極限定理，即伯努利大數(shù)定律，闡明了事件的頻率穩(wěn)定于它的概率。隨后棣莫弗和拉普拉斯又導(dǎo)出了第 二個(gè)基本極限定理（中心極限定理）的原始形式。拉普拉斯在系統(tǒng)總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上寫(xiě)出了《分析的概率理論》，明確給出了概率的古典定義，并在概率論中引入了更有力的分析工具，將概率論推向一個(gè)新的發(fā)展階段。19世紀(jì)末，俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比雪夫、馬爾可夫、李亞普諾夫等人用分析方法建立了大數(shù)定律及中心極限定理的一般形式，科學(xué)地解釋了為什么實(shí)際中遇到的許多隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布。20世紀(jì)初受物理學(xué)的刺激，人們開(kāi)始研究隨機(jī)過(guò)程。這方面柯?tīng)柲缏宸?、維納、馬爾可夫、辛欽、萊維及費(fèi)勒等人作了杰出的貢獻(xiàn)。
定義
傳統(tǒng)概率
傳統(tǒng)概率又叫拉普拉斯概率，因?yàn)槠涠x是由法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯提出的。如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)所包含的單位事件是有限的，且每個(gè)單位事件發(fā)生的可能性均相等，則這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)叫做拉普拉斯試驗(yàn)。在拉普拉斯試驗(yàn)中，事件A在事件空間S中的概率P(A)為：
例如，在一次同時(shí)擲一個(gè)硬幣和一個(gè)骰子的隨機(jī)試驗(yàn)中，假設(shè)事件A為獲得國(guó)徽面且點(diǎn)數(shù)大于4，那么事件A的概率應(yīng)該有如下計(jì)算方法：
公理化定義
如何定義概率，如何把概率論建立在嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)上，是概率理論發(fā)展的困難所在，對(duì)這一問(wèn)題的探索一直持續(xù)了3個(gè)世紀(jì)。20世紀(jì)初完成的勒貝格測(cè)度與積分理論及隨后發(fā)展的抽象測(cè)度和積分理論，為概率公理體系的建立奠定了基礎(chǔ)。在這種背景下，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸?933年在他的《概率論基礎(chǔ)》一書(shū)中第一次給出了概率的測(cè)度論的定義和一套嚴(yán)密的公理體系。他的公理化方法成為現(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)，使概率論成為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支，對(duì)概率論的迅速發(fā)展起了積極的作用。
以下是公理化定義：
（1）非負(fù)性：
（2）規(guī)范性：
（3）可列（完全）可加性：對(duì)于兩兩互不相容的可列無(wú)窮多個(gè)事件
統(tǒng)計(jì)定義
設(shè)隨機(jī)事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)為nA，若當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，頻率
事件
事件包括單位事件、事件空間、隨機(jī)事件等。
在一次隨機(jī)試驗(yàn)中可能發(fā)生的唯一的，且相互之間獨(dú)立的結(jié)果被稱(chēng)為單位事件，用e表示。在隨機(jī)試驗(yàn)中可能發(fā)生的所有單位事件的集合稱(chēng)為事件空間，用S來(lái)表示。例如在一次擲骰子的隨機(jī)試驗(yàn)中，如果用獲得的點(diǎn)數(shù)來(lái)表示單位事件，那么一共可能出現(xiàn)6個(gè)單位事件，則事件空間可以表示為
隨機(jī)事件是事件空間S的子集，它由事件空間S中的單位元素構(gòu)成，用大寫(xiě)字母A，B，C...表示。例如在擲兩個(gè)骰子的隨機(jī)試驗(yàn)中，設(shè)隨機(jī)事件
事件的計(jì)算
因?yàn)槭录谝欢ǔ潭壬鲜且约系暮x定義的，因此可以把集合計(jì)算方法直接應(yīng)用于事件的計(jì)算，也就是說(shuō)，在計(jì)算過(guò)程中，可以把事件當(dāng)作集合來(lái)對(duì)待。
A的補(bǔ)集 不屬于A的事件發(fā)生 | 聯(lián)集  或者A或者B或者A，B同時(shí)發(fā)生 | 交集  事件A，B同時(shí)發(fā)生 |
差集A\B 不屬于B的A事件發(fā)生） | 空集  | 子集  如A發(fā)生，則B也一定發(fā)生 |
在輪盤(pán)游戲中假設(shè)A代表事件“球落在紅色區(qū)域”，B代表事件"球落在黑色區(qū)域"，C代表事件"球落在綠色區(qū)域"，因?yàn)槭录嗀和B沒(méi)有共同的單位事件，因此可表示為概率
注意到事件A和B并不是互補(bǔ)的關(guān)系，因?yàn)樵谡麄€(gè)事件空間S中還有一個(gè)單位事件C，其即不是紅色也不是黑色，而是綠色，因此A，B的補(bǔ)集應(yīng)該分別表示如下：
一事件A在一事件B確定發(fā)生后會(huì)發(fā)生的概率稱(chēng)為B給之A的條件概率；其數(shù)值為
相關(guān)事例
人們普遍認(rèn)為，對(duì)將要發(fā)生的機(jī)率的一種不好的感覺(jué)，或者說(shuō)不安全感（俗稱(chēng)“點(diǎn)背”）是實(shí)際存在的。下面列出的幾個(gè)例子可以形象闡述人們有時(shí)對(duì)機(jī)率存在的錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)：
（1）六合彩：在六合彩（49選6）中，一共有13983816種可能性，普遍認(rèn)為，如果每周都買(mǎi)一個(gè)不相同的號(hào)，最晚可以在
（2）生日悖論：在一個(gè)足球場(chǎng)上有23個(gè)人（2×11個(gè)運(yùn)動(dòng)員和1個(gè)裁判員），不可思議的是，在這23人當(dāng)中至少有兩個(gè)人的生日是在同一天的機(jī)率要大于50%。
（3）輪盤(pán)游戲：在游戲中玩家普遍認(rèn)為，在連續(xù)出現(xiàn)多次紅色后，出現(xiàn)黑色的機(jī)率會(huì)越來(lái)越大。這種判斷也是錯(cuò)誤的，即出現(xiàn)黑色的機(jī)率每次是相等的，因?yàn)榍虮旧聿](méi)有“記憶”，它不會(huì)意識(shí)到以前都發(fā)生了什么，其機(jī)率始終是
（4）三門(mén)問(wèn)題：在電視臺(tái)舉辦的猜隱藏在門(mén)后面的汽車(chē)的游戲節(jié)目中，在參賽者的對(duì)面有三扇關(guān)閉的門(mén)，其中只有一扇門(mén)的后面有一輛汽車(chē)，其它兩扇門(mén)后是山羊。游戲規(guī)則是，參賽者先選擇一扇他認(rèn)為其后面有汽車(chē)的門(mén)，但是這扇門(mén)仍保持關(guān)閉狀態(tài)，緊接著主持人打開(kāi)沒(méi)有被參賽者選擇的另外兩扇門(mén)中后面有山羊的一扇門(mén)，這時(shí)主持人問(wèn)參賽者，要不要改變主意，選擇另一扇門(mén)，以使得贏得汽車(chē)的機(jī)率更大一些？
正確結(jié)果是，如果參賽者改變初衷，他的中獎(jiǎng)概率將變成
有三種可能的情況，全部都有相等的可能性(
計(jì)算
需要提及的是下面將要介紹的9個(gè)計(jì)算概率的定理與上面已經(jīng)提及的事件的計(jì)算沒(méi)有關(guān)系，所有關(guān)于概率的定理均由概率的3個(gè)公理得來(lái)，同時(shí)適用于包括拉普拉斯概率和統(tǒng)計(jì)概率在內(nèi)的所有概率理論。
定理1
又稱(chēng)互補(bǔ)法則。
第一次旋轉(zhuǎn)紅色不出現(xiàn)的概率是
定理2
不可能事件的概率為零。
證明： Q和S是互補(bǔ)事件，按照公理2有
定理3
例如，在一次擲骰子中，得到5點(diǎn)或者6點(diǎn)的概率是：
定理4
如果事件A，B是差集關(guān)系，則有
定理5
任意事件加法法則：
對(duì)于事件空間S中的任意兩個(gè)事件A和B，有如下定理：概率
定理6
乘法法則：
事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率是：
定理7
無(wú)關(guān)事件乘法法則：
兩個(gè)不相關(guān)聯(lián)的事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率是：注意到這個(gè)定理實(shí)際上是定理6(乘法法則)的特殊情況，如果事件A，B沒(méi)有聯(lián)系，則有
忽視這一定理是造成許多玩家失敗的根源，普遍認(rèn)為，經(jīng)過(guò)連續(xù)出現(xiàn)若干次紅色后，黑色出現(xiàn)的概率會(huì)越來(lái)越大，事實(shí)上兩種顏色每次出現(xiàn)的概率是相等的，之前出現(xiàn)的紅色與之后出現(xiàn)的黑色之間沒(méi)有任何聯(lián)系，因?yàn)榍虮旧聿](méi)有"記憶"，它并不"知道"以前都發(fā)生了什么。
所以，連續(xù)10次至少有1次出現(xiàn)紅色的概率為
統(tǒng)計(jì)概率
統(tǒng)計(jì)概率是建立在頻率理論基礎(chǔ)上的，分別由英國(guó)邏輯學(xué)家約翰(John Venn,1834-1923)和奧地利數(shù)學(xué)家理查德(Richard VonMises,1883-1953)提出，他們認(rèn)為，獲得一個(gè)事件的概率值的唯一方法是通過(guò)對(duì)該事件進(jìn)行100次，1000次或者甚至10000次的前后相互獨(dú)立的n次隨機(jī)試驗(yàn)，針對(duì)每次試驗(yàn)均記錄下絕對(duì)頻率值和相對(duì)頻率值hn(A)，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增加，會(huì)出現(xiàn)如下事實(shí)，即相對(duì)頻率值會(huì)趨于穩(wěn)定，它在一個(gè)特定的值上下浮動(dòng)，也即是說(shuō)存在著一個(gè)極限值P(A)，相對(duì)頻率值趨向于這個(gè)極限值。
這個(gè)極限值被稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)概率，表示為：
例如，若想知道在一次擲骰子的隨機(jī)試驗(yàn)中獲得6點(diǎn)的概率值可以對(duì)其進(jìn)行3000次前后獨(dú)立的扔擲試驗(yàn)，在每一次試驗(yàn)后記錄下出現(xiàn)6點(diǎn)的次數(shù)，然后通過(guò)計(jì)算相對(duì)頻率值可以得到趨向于某一個(gè)數(shù)的統(tǒng)計(jì)概率值。
扔擲數(shù) | 獲得6點(diǎn)的絕對(duì)頻率 | 獲得6點(diǎn)的相對(duì)頻率 |
1 | 1 | 1.00000 |
2 | 1 | 0.50000 |
3 | 1 | 0.33333 |
4 | 1 | 0.25000 |
5 | 2 | 0.40000 |
10 | 2 | 0.20000 |
20 | 5 | 0.25000 |
100 | 12 | 0.12000 |
200 | 39 | 0.19500 |
300 | 46 | 0.15333 |
400 | 72 | 0.18000 |
500 | 76 | 0.15200 |
600 | 102 | 0.17000 |
700 | 120 | 0.17143 |
1000 | 170 | 0.17000 |
2000 | 343 | 0.17150 |
3000 | 560 | 0.16867 |
上面提到的這個(gè)有關(guān)相對(duì)頻率的經(jīng)驗(yàn)值又被稱(chēng)為大數(shù)定律，是頻率理論學(xué)家定義概率論的基礎(chǔ)。然而沒(méi)有人可以將骰子無(wú)限地扔下去，因此在實(shí)踐中也就無(wú)法有力的證明大數(shù)定律，許多來(lái)自數(shù)學(xué)理論的論證至今也沒(méi)有取得成功。盡管如此，統(tǒng)計(jì)概率在今天的實(shí)踐中具有重要意義，它是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)。
完全概率
n個(gè)事件
例如，一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)工具由一個(gè)骰子和一個(gè)柜子中的三個(gè)抽屜組成，抽屜1里有14個(gè)白球和6個(gè)黑球，抽屜2里有2個(gè)白球和8個(gè)黑球，抽屜3里有3個(gè)白球和7個(gè)黑球，試驗(yàn)規(guī)則是首先擲骰子，如果獲得小于4點(diǎn)，則抽屜1被選擇，如果獲得4點(diǎn)或者5點(diǎn)，則抽屜2被選擇，其他情況選擇抽屜3。然后在選擇的抽屜里隨機(jī)抽出一個(gè)球，最后抽出的這個(gè)球是白球的概率是：
從例子中可看出，完全概率特別適合于分析具有多層結(jié)構(gòu)的隨機(jī)試驗(yàn)的情況。
貝葉斯定理
貝葉斯定理由英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯(Thomas Bayes,1702-1761)發(fā)展，用來(lái)描述兩個(gè)條件概率之間的關(guān)系，比如
一座別墅在過(guò)去的20年里一共發(fā)生過(guò)2次被盜，別墅的主人有一條狗，狗平均每周晚上叫3次，在盜賊入侵時(shí)狗叫的概率被估計(jì)為0.9，問(wèn)題是：在狗叫的時(shí)候發(fā)生入侵的概率是多少？
人們假設(shè)A事件為狗在晚上叫，B為盜賊入侵，則
另一個(gè)例子，現(xiàn)分別有A，B兩個(gè)容器，在容器A分別有7個(gè)紅球和3個(gè)白球，在容器B里有1個(gè)紅球和9個(gè)白球，現(xiàn)已知從這兩個(gè)容器里任意抽出了一個(gè)球，且是紅球，問(wèn)這個(gè)紅球是來(lái)自容器A的概率是多少?
假設(shè)已經(jīng)抽出紅球?yàn)槭录﨎，從容器A里抽出球?yàn)槭录嗀，則有：
雖然概率論最早產(chǎn)生于17世紀(jì)，然而其公理體系卻在20世紀(jì)的20至30年代才建立起來(lái)并得到迅速發(fā)展，在過(guò)去的半個(gè)世紀(jì)里概率論在越來(lái)越多的新興領(lǐng)域顯示了它的應(yīng)用性和實(shí)用性，例如：物理、化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)、心理學(xué)、社會(huì)學(xué)、政治學(xué)、教育學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)以及幾乎所有的工程學(xué)等領(lǐng)域。
特別值得一提的是，概率論是今天數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，其結(jié)果常被用做問(wèn)卷調(diào)查的分析資料，而且也用于對(duì)經(jīng)濟(jì)前景進(jìn)行預(yù)測(cè)。
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尚可名片
這家伙太懶了，什么都沒(méi)寫(xiě)！
作者
