以超越數(shù)為研究對象的數(shù)論分支之一。全體復(fù)數(shù)可分為兩大類：代數(shù)數(shù)和超越數(shù)。如一個復(fù)數(shù)是某個系數(shù)不全為零的整系數(shù)多項(xiàng)式的根，則稱此復(fù)數(shù)為代數(shù)數(shù)。不是代數(shù)數(shù)的復(fù)數(shù)，叫做超越數(shù)。J.劉維爾開創(chuàng)了對超越數(shù)的研究，他發(fā)現(xiàn)無理代數(shù)數(shù)的有理數(shù)逼近的精密性有一個限度，借此他于1844年構(gòu)造出歷史上第一批超越數(shù)，例如
超越數(shù)論
1873年，C.埃爾米特證明了e是超越數(shù)，從而使超越數(shù)論進(jìn)入一個新階段。1882年,F.von林德曼推廣了埃爾米特的方法，證明了π 是超越數(shù)，從而解決了古希臘的“化圓為方”問題。 19世紀(jì)超越數(shù)論的最高成就，是林德曼-外爾施特拉斯定理：如果α1,α2,…,αn是兩兩不同的代數(shù)數(shù)，β1,β2，…,βn是非零代數(shù)數(shù)，則
超越數(shù)論
由此可以導(dǎo)出，如果α1，α2,…,αn在無理數(shù)域Q上線性無關(guān)，則
超越數(shù)論
1900年,D.希爾伯特提出的23個問題中的第7問題是：如果α是不等于0和1的代數(shù)數(shù)，β是無理代數(shù)數(shù)，那么αβ是否超越數(shù)？D.希爾伯特曾預(yù)言，這個問題的解決將遲于黎曼猜想和費(fèi)馬大定理。A.O.蓋爾豐德于1929年證明了：若α是不等于零和1的代數(shù)數(shù),β是二次復(fù)代數(shù)數(shù)，則αβ是超越數(shù)，特別地,
超越數(shù)論
超越數(shù)論
超越數(shù)論
超越數(shù)論
超越數(shù)論
代數(shù)數(shù)的有理逼近是超越數(shù)論的重要課題（見丟番圖逼近）。由林德曼－外爾施特拉斯定理發(fā)展而成的西格爾-希德洛夫斯基理論，對于證明一類適合線性微分方程組的冪級數(shù)的值的代數(shù)無關(guān)性，建立了一般的方法。例如，令 
超越數(shù)論
若λ是異于負(fù)整數(shù)和
超越數(shù)論
超越數(shù)的測度理論是超越數(shù)論的又一個重要內(nèi)容。1874年，G.康托爾引進(jìn)了可數(shù)性的概念，而導(dǎo)致了“幾乎所有”的實(shí)數(shù)（復(fù)數(shù)）都是超越數(shù)的結(jié)論。1965年，Β.Γ.普林茹克證明了K.馬勒爾在1932年提出的猜想：對于幾乎所有的實(shí)數(shù)θ、任意的正整數(shù)n 和正數(shù)ε，至多有有限多個n次整系數(shù)多項(xiàng)式p(x)，使得
超越數(shù)論
超越數(shù)論的最新發(fā)展使用著來自交換代數(shù)、代數(shù)幾何、多復(fù)變函數(shù)論、甚至上同調(diào)理論的方法，正處于活躍之時。許多著名問題，例如，沙魯爾猜測：若復(fù)數(shù)ζ1,…,ζn在Q上線性無關(guān)，則由
超越數(shù)論
超越數(shù)論
參考書目
A.Baker,Transcendental Number Theory, Cambridge Univ. Press, 1975.
A.Baker and D.W.Masser, ed.,Transcendence Theory:Advances and Applications, Academic Press, New York,1977.
