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高斯定理（應(yīng)用于數(shù)學(xué)等學(xué)科的理論）

次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-05-20

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高斯定理

應(yīng)用于數(shù)學(xué)等學(xué)科的理論

對(duì)于一個(gè)矢量場(chǎng)V，其散度的體積分等于V在此體積表面上的法向分量的面積分，上述定理被成為高斯定理（英文：Gauss's law），又稱為散度定理（Divergence theorem）。

基本信息

中文名

高斯定理

英文名

Gauss's law，Divergence theorem

提出時(shí)間

1813年

相關(guān)人物

奧斯特洛格拉特斯基、高斯

高斯定理把矢量場(chǎng)通過曲面的流動(dòng)(即通量)與曲面內(nèi)部的向量場(chǎng)的表現(xiàn)聯(lián)系了起來，將復(fù)雜的曲面積分計(jì)算轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的三重積分運(yùn)算，在電磁學(xué)等領(lǐng)域中也具有運(yùn)用。

基本概念

若某封閉區(qū)域空間

的邊界

由光滑或分片光滑的閉曲面所圍成，函數(shù)P(x,y,z)，Q(x;y,z)，R(x.y,z)在

上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則

式中

是邊界曲面

的外側(cè)，稱上式為高斯定理，也稱為高斯公式或散度定理。此定理揭示了空間區(qū)域

上的三重積分與沿

的邊界曲面

的面積分之間的關(guān)系。

高斯定理能夠?qū)⒂?jì)算復(fù)雜的曲面積分轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的三重積分運(yùn)算，運(yùn)用高斯定理還能得出許多有用的推論。

證明

首先假設(shè)

是體單連通域，如右圖所示構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，則

其中

為有界封閉區(qū)域，函數(shù)

在定義域

上連續(xù)，分別記為

，則有

當(dāng)

為更一般的區(qū)域時(shí)，可以利用平行于某一坐標(biāo)平面的平面將該區(qū)域分割為若干體單連通域，在這些子區(qū)域中均滿足上述公式，累加仍可得到上述結(jié)果。

同理可證：

將上述三個(gè)等式相加，即得到高斯定理。

歷史

1826年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家奧斯特洛格拉特斯基（Mikhail Ostrogradsky）首先撰文發(fā)表了散度定理。由于德國(guó)數(shù)學(xué)家約翰·卡爾·弗里德里?！?/span>高斯（Karl Friedrich Gauss）在1813年他的著作中已經(jīng)研究了這一定理，只是未及時(shí)發(fā)表，因此散度定理也稱為高斯定理。

其他形式

第一類曲面積分形式

由兩類曲面之間的聯(lián)系立即可以給出高斯公式的第一類曲面積分形式：

矢量形式

高斯定理也可以從場(chǎng)論的觀點(diǎn)進(jìn)行闡釋。場(chǎng)論是運(yùn)用數(shù)學(xué)理論研究某些物理量在空間中的分布狀態(tài)，如果該物理量為標(biāo)量，如溫度等，則對(duì)應(yīng)的場(chǎng)如溫度場(chǎng)等稱為標(biāo)量場(chǎng)。如果該物理量為矢量，如速度等，則對(duì)應(yīng)的場(chǎng)如速度場(chǎng)等稱為矢量場(chǎng)。在空間直角坐標(biāo)系中，一個(gè)矢量場(chǎng)

可以表示為：

高斯定理的公式左端可以表示為：

則

稱為矢量場(chǎng)A沿閉合曲面

的外側(cè)

穿過的通量。高斯定理的公式左端表示從內(nèi)穿出的正通量與從外穿入的負(fù)通量的代數(shù)和，由于指定了

的外側(cè)方向，當(dāng)

表示該矢量場(chǎng)為凈流出，當(dāng)

表示該矢量場(chǎng)為凈流入。

對(duì)于上述的矢量場(chǎng)

，其散度可表示為：

與通量類似，散度也是矢量場(chǎng)的一個(gè)重要物理量，表示在場(chǎng)中的某一點(diǎn)處通量對(duì)體積的變化率。當(dāng)散度不為0時(shí)，稱該區(qū)域內(nèi)是有源的，當(dāng)散度恒為0時(shí)，則該區(qū)域是無源。

在引入通量和散度的定義后，高斯定理可以表示如下的矢量形式：

從場(chǎng)的觀點(diǎn)來看，高斯定理描述了矢量場(chǎng)在某封閉區(qū)域中的通量和散度之間的關(guān)系，即矢量場(chǎng)

穿出封閉曲面的通量等于

的散度在封閉曲面圍成的空間內(nèi)三重積分。

微分形式

若規(guī)定一個(gè)作用于

算子

如下：

由散度的定義式可得：

得到結(jié)果如下：

上式也稱為高斯定理的微分形式。

電磁場(chǎng)中的高斯定理

靜電場(chǎng)的高斯定理

靜電場(chǎng)中的高斯定理給出了靜電場(chǎng)中通過任一閉合曲面的電通量與該閉合曲面內(nèi)所包圍的電荷之間的量值關(guān)系，是靜電場(chǎng)的一條基本定理。具體來說，在真空中的靜電場(chǎng)中，任一閉合面

的電通量

等于該閉合面內(nèi)的電荷代數(shù)和的

分之一，而與閉合面外的電荷無關(guān)，公式表示如下：

靜電場(chǎng)的高斯定理同樣適用于恒定電場(chǎng)中。

磁場(chǎng)的高斯定理

在磁場(chǎng)中，對(duì)于任意一個(gè)閉合曲面，由于磁感線是閉合曲線，即磁感線進(jìn)入和傳出閉合曲面的數(shù)量總是相等的，因此通過任何閉合曲面的總磁通量必為零，稱為磁場(chǎng)的高斯定理，也稱磁通連續(xù)定理，它表明磁場(chǎng)是無源場(chǎng)，用公式表示如下：

磁場(chǎng)的高斯定理也是麥克斯韋方程組的四個(gè)方程之一。

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